Osoita induktiolla voimassaolo Fibonaccin luvuillle ( Fk)k käy yhdestä äärettömään
a) Summa k käy yhdestä n:ään Fk = Fn 2 -1
b) Summa k käy yhdestä n:ään Fk^ 2 = FnFn 1
kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla n.
Miten opettaisit ymmärrettävästi a ja b -kohdat. Anna myös vastaukset.
a) Summa k käy yhdestä n:ään Fk = Fn 2 -1
b) Summa k käy yhdestä n:ään Fk^ 2 = FnFn 1
kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla n.
Miten opettaisit ymmärrettävästi a ja b -kohdat. Anna myös vastaukset.
Vastaukset 1
Vanhimmat
Merkintä on vähän epäselvä, mutta se ilmeisesti tarkoittaa, että
F(1) F(2) ... F(n) = F(n 2) - 1. Jono on siis 1 1 2 3 5 ....
Todetaan, että lauseke on tosi, kun n = 1, sillä F(1) = F(3) - 1, eli 1 = 2 - 1.
Induktio-oletus:
Lause on tosi arvolla n, jolloin siis
F(1) F(2) ... F(n) = F(n 2) - 1. (A)
Näytettävä, että se on tosi silloin myös arvolla n 1. Silloin siis pitäisi olla voimassa
F(1) F(2) ... F(n) F(n 1) = F(n 3) - 1. (B)
Lisätään yhtälön (A) molempiin puoliin F(n 1), jolloin
F(1) F(2) ... F(n) F(n 1) = F(n 1) F(n 2) - 1.
Mutta Fibonacci-lukujen määritelmän mukaan oikealla puolella oleva F(n 1) F(n 2) = F(n 3), eli saadaan haluttu yhtälö (B).