Maanantaina koe, joten tartteisin apua näihin laskuihin, joita en tajunnut (olen matemaattisesti melko lahjaton).
Olkoon x ja y kokonaislukuja. Oletetaan, että kaikille kokonaisluvuille pätee:
f(x y)=f(x) f(y)
Olkoon lisäksi f(2)=3. Mikä on f(4)?
Sitten toinen:
Määritellään kahden kokonaisluvun a ja b välinen laskuoperaatio "|" seuraavasti:
a|b=a ab
Paljonko on (2|3)|(3|1)?
Pelkät vastaukset ei siis riitä, haluaisin kuulla miten nuo ratkaistaan, jos joku kiltti vain viitsisi.
Niin ja vielä tähän haluaisin tietää, että millä laskukaavalla ratkaistaan:
Autoilija ajoi 120 km:n matkan menosuuntaan keskinopeudella 80 km tunnissa. Paluumatkalla hän ajoi 100 km:n tuntinopeudella keskimäärin. Kuinka monta prosenttia vähemmän aikaa kului paluumatkaan kuin menomatkaan?
Kiitos kiitos kiitos paljon, jos näihin saisin selvyyttä ennen maanantaita.
Olkoon x ja y kokonaislukuja. Oletetaan, että kaikille kokonaisluvuille pätee:
f(x y)=f(x) f(y)
Olkoon lisäksi f(2)=3. Mikä on f(4)?
Sitten toinen:
Määritellään kahden kokonaisluvun a ja b välinen laskuoperaatio "|" seuraavasti:
a|b=a ab
Paljonko on (2|3)|(3|1)?
Pelkät vastaukset ei siis riitä, haluaisin kuulla miten nuo ratkaistaan, jos joku kiltti vain viitsisi.
Niin ja vielä tähän haluaisin tietää, että millä laskukaavalla ratkaistaan:
Autoilija ajoi 120 km:n matkan menosuuntaan keskinopeudella 80 km tunnissa. Paluumatkalla hän ajoi 100 km:n tuntinopeudella keskimäärin. Kuinka monta prosenttia vähemmän aikaa kului paluumatkaan kuin menomatkaan?
Kiitos kiitos kiitos paljon, jos näihin saisin selvyyttä ennen maanantaita.
Vastaukset 6
Vanhimmat
ekaan kohtaan pikavastaus: f(4) = f(2 2) ja siitä sitten eteenpäin.
1. Jos f(x + y) = f(x) + f(y), niin f on lineaarinen funktio. Se on siis muotoa ax. Jos a * 2 = 3, niin a = 3/2. Tästä saadaan, että f(4) = (3/2)*4 = 6.
2. Nyt a|b = a + ab = a(1 + b).
(2|3) =2* (1 + 3) = 8. Edelleen (3|1) = 3*(1 + 1) = 6. Lopuksi (8|6) = 8*(1 + 6) = 56.
Merkintä | on hieman epäonnistunut, koska yleensä a|b tarkoittaa, että b on jaollinen a:lla.
3. Matka = aika * keskinopeus. Tästä saadaa, että aika = matka / keskinopeus.
Aika menosuuntaan on 120 / 80 h = 1.5 h. Aika paluumatkalla on 120 / 100 h = 1.2 h. Aikojen erotus on 0.3 h. Lasketaan montako % erotus on siitä ajasta, johon verrataan (sen edessä on monesti "kuin"). Siis montako % 0.3 h on 1.5 h:sta, jolloin saadaan (0.3 * 100) / 1.5 = 30 / 1.5 = 20. Siis 20 %.
Huomattakoon, että saatu % ei riipu ajetusta matkasta. Matkan 120 km tilalla voisi siis olla mikä luku tahansa, esimerkiksi a. Silloin saataisiin
((a / 80 - a/100) * 100) / (a/80) = (a * (1.25 - 1)) / (a * 0.0125) = 0.25 / 0.0125 = 20.
matemaattisen täsmällisyyden säilyttämiseksi paljon tarkempia perusteluja.
""1. Jos f(x y) = f(x) f(y), niin f on lineaarinen funktio. Se on siis muotoa ax. Jos a * 2 = 3, niin a = 3/2. Tästä saadaan, että f(4) = (3/2)*4 = 6.""
Eihän additiivisuudesta mitenkään seuraa lineaarisuus, vaan tarvitaan myös homogeenisuus. Tämä on kyllä oikein: f(4) = f(2 2) = f(2) f(2) = 3 3 = 6.
"Jos f(x y) = f(x) f(y), niin f on lineaarinen funktio."
Ei ole. Voi myös olla epämitallinen, kts. http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy's_functional_equation#Properties_of_other_solutions
Autoilija ajoi 120 km:n matkan menosuuntaan keskinopeudella 80 km tunnissa. Paluumatkalla hän ajoi 100 km:n tuntinopeudella keskimäärin. Kuinka monta prosenttia vähemmän aikaa kului paluumatkaan kuin menomatkaan?
vk = s/t
MENOSUUNTA:
t= 120km/80km/h = 1,5h
s= 120km
vk= 80km/h
PALUUSUUNTA:
t=120km/100km/h= 1,2h
s=120km
vk=100km/h
Aikaero: 1,5h-1,2h=0,3h
Minuuteissa: 90min- 72min = 18min
18min/90min *100% = 20%