Mikä f(x) toteuttaa f(f(x)) = e^x? (rajataan x > 1)
f(f(x))=e^x
adfafs
6352
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Turvaa tilisi vahvistamalla puhelinnumerosi. Voit silloin palauttaa unohtuneen salasanan tekstiviestillä.
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 6
Vanhimmat
Tulee mieleen ettei tuollaista ole, sen voisi varmaan todistaa (jos näin on) potenssisarjojen kautta.
Tai jos löytyy niin potenssisarjojen kautta funktio voidaan määritellä (ainakin formaalisti, suppeneminen on eri asia)
Eli pitäisi löytyä f(x)=Summa i=0..ääretön A_i X^i.
Siten että f^2 (x)=1 x x^2/2 x^3/6 x^4/24 ...
Tässä on tällainen Fourier-muunnokseen perustuva fyysikko-laskenta-yritelmä, jolla saadaan formaali ratkaisu, mutta suppenemisesta ei ole mitään takeita.
Olkoon g(x) = f(f(x)) = e^x, jolloin g ratkaisee differentaaliyhtälön
g'(x) - g(x) = delta(x)
g(x):n formaali Fourier-muunnos G(w) on tällöin
G(s) = 1/(iw-1)
Siispä f(x):n Fourier-muunnos on oltava funktio F(w) s.e.
G(w) = F(w)^2
eli
F(w) = (iw-1)^(-1/2)
Tällöin f(x) on formaalisti
f(x) = 1/(2pi) int (iw-1)^(-1/2) exp(iwx) dw
Tälle voi sitten yrittää etsiä jotain sarjakehitelmää tai vastaavaa. Voipi olla, että ei edes suppene.
Suoratlta kädeltä sanoisin, että ratkaisuja on äärettömän monta.
Varmasti, mutta entäs jatkuvia ratkaisuja yksi, nolla vai monta?
http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=36&t=172289
Mielenkiintoinen ratkaisu sinänsä. Ihan triviaalia ei ole kyllä tuon funktion pirtäminen esimerkiksi Matlabiin, koska funktiot gk(x) määritellään rekursiivisesti ja sitten niiden rekursiivisten funktioiden käänteisfunktion arvoja pitäisi laskea osana rekursiivista määritelmää.