Ärsyttävä juuriyhtälö ongelma:
x = x*x^1/2 x^1/3 - x^1/2
eli tuo pitäisi ratkaista x:n suhteen.Korvallakin näkee että kaksi ratkaisua ovat 0 ja 1, mutta kolmas juuri, jonka likiarvo on 0.26. Vaikka poistan kaikki juuret korottamalla ensin toiseen ja sitten 3. potenssiin,niin tulee parillisia ja parittomia potensseja,joista en pääse eteenpäin. Voisiko joku kertoa miten tulee....
x = x*x^1/2 x^1/3 - x^1/2
eli tuo pitäisi ratkaista x:n suhteen.Korvallakin näkee että kaksi ratkaisua ovat 0 ja 1, mutta kolmas juuri, jonka likiarvo on 0.26. Vaikka poistan kaikki juuret korottamalla ensin toiseen ja sitten 3. potenssiin,niin tulee parillisia ja parittomia potensseja,joista en pääse eteenpäin. Voisiko joku kertoa miten tulee....
Vastaukset 6
Vanhimmat
Tekemällä sijoituksen x = z^6 ja jakamalla tekijöihin saa yhtälön
z^2*(z-1)*(z 1)*(z^5 z^3-z^2 z-1)=0.
Piirtämällä käyrän y = z^5 z^3-z^2 z-1 havaitsee, että käyrä leikkaa z-akselin noin kohdassa z = 0,8. Iteraatiolla saa juureksi z ≈ 0,8000949944, josta edelleen x ≈ 0,2623308220.
Jotta päästäisiin eroon juurista, asetetaan z = x^1/6. Silloinhan x^1/2 = z^3 ja x^1/3 = z^2. Näin yhtälö saadaan ainakin tajuttavmpaan muotoon:
z^6 = z^9 z^2 - z^3.
Jaetaan puolittain z^2:lla, jolloin samalla saadaan kaksoisjuuri 0.
z^4 = z^7 1 - z, ja edelleen
z^4 (1 - z^3) = 1 - z.
z^4(1 - z)(1 z z^2) = 1 - z.
Jaetaan puolittain 1-z :lla, jolloin samalla saadaan juuri z = 1.
z^4 (1 z z^2) = 1.
z^6 z^5 z^4 - 1 = 0.
z^5(z 1) (z 1)(z-1)(z^2 1) = 0.
Jaetaan puolittain (z 1):llä, jolloin taas tulee juuri z = -1.
z^5 (z - 1)(z^2 1) = 0.
z^5 z^3 - z^2 z - 1 = 0.
Siihen se jämähti. Ehkä joku keksii nerokkaan oikotien. Kuka näitä tehtäviä oikein keksii? Onkohan siinä painovirhe?
En huomannut katsoa edellistä postausta. Siinähän se saamani tulos jo oli. Hän keksi sen ensin.
Ei tuollaista oikotietä ole ainakaan jos halutaan ilmaista juuri suljetussa muodossa juurilausekkeiden avulla. Polynomin z^5 z^3 - z^2 z - 1 Galois'n ryhmä Q:n suhteen on nimittäin S_5, joka ei ole ratkeava.
On muuten kumma, miten vaikeaa sulkujen käyttö on joillekin. Mieluummin liian paljon kuin vähän, mutta vähintään tarpeeksi! Jos tarkkoja ollaan, niin tuo juuriyhtälösi on noin kirjoitettuna sama kuin
x = (1/2)x^x (1/3)x - (1/2)x.
Tismalleen. Nuo pitäisi osata ehdottomasti. Kas kun kukaann vastaajaakaan ei kiinittänyt tuohon huomiota.