Kaipaisin kovasti apua seuraavien tehtävien kanssa, Aivoni vain eivät millään raksuta enkä keksi kuinka kyseiset tehtävät tulisi ratkaista. Olen hiukan epätoivonen, koska nämä tehtävät tulisi ennen ensi vuotta lähettää jolloin saisin nostettua numeroani ja koko illan olen päätäni raapinut ja saanut tehtyä 2 tehtävää viidestä. Apua siis tarvitaisiin.
Oletetaan, että f ja g ovat sellaisia kahdesti derivoituvia funktioita, että f' on aidosti kasvava ja g' on aidosti laskeva. Osoita, että yhtälöllä f(x)=g(x) on korkeintaan kaksi ratkaisua. (Vihje: tee vastaoletus, että ratkaisuja on (ainakin) kolme).
Osoita sopivalla sijoituksella, että integraali 0:sta 2:teen x^p*(2 − x)^qdx = integraali 0:sta 2:teen x^q*(2 − x)^pdx
pätee kaikilla reaaliluvuilla p, q > 0.
Saako funktio F(x)=integraali 0:sta (x 1):seen sin(t)*e^(sin(t))dt suurimman arvonsa avoimella välillä 0:sta
piihin?
Tämän olen jo integroinut ja saanut tulokseksi:
(e^(sin(t))*(sin(x 1)-cos(x 1)))/2 En vain tiedä kuinka tästä jatkaa osoittaakseni, että funktio saa suurimman arvonsa tällä välillä.
Oletetaan, että f ja g ovat sellaisia kahdesti derivoituvia funktioita, että f' on aidosti kasvava ja g' on aidosti laskeva. Osoita, että yhtälöllä f(x)=g(x) on korkeintaan kaksi ratkaisua. (Vihje: tee vastaoletus, että ratkaisuja on (ainakin) kolme).
Osoita sopivalla sijoituksella, että integraali 0:sta 2:teen x^p*(2 − x)^qdx = integraali 0:sta 2:teen x^q*(2 − x)^pdx
pätee kaikilla reaaliluvuilla p, q > 0.
Saako funktio F(x)=integraali 0:sta (x 1):seen sin(t)*e^(sin(t))dt suurimman arvonsa avoimella välillä 0:sta
piihin?
Tämän olen jo integroinut ja saanut tulokseksi:
(e^(sin(t))*(sin(x 1)-cos(x 1)))/2 En vain tiedä kuinka tästä jatkaa osoittaakseni, että funktio saa suurimman arvonsa tällä välillä.
Vastaukset 15
Vanhimmat
näistä paljon ymmärrä, mutta tossa toisessa sijoituksella 2-x=t, tulee dx=-dt,x=2-t ja uudet rajat 2.....0, eli
integraali muuttuu muotoon: int 2...0 -(2-t)^p*t^q dt, eli int 0....2(2-t)^p*t^q dt.
Tuo on ihan sama integraali kuin oikeakin puoli, koska rajat vaihdettiin, ja enää ei päde 2-x=t, vaan x voi olla t
Kolmannelle ei mielestäni integraalia löydy.
jos kuitenkin löytyy, niin sehän pitää sitten sijoittamisen jälkeen derivoida x:n suhteen , ja koska x:ää ei alarajassa ole, niin jää pelkkä yläraja, ja koska x:derivaatta on 1, niin derivaatasta tulee tuo sama funktio arvolla (x 1).
sin(x 1)*e^(sin(x 1))=0 =>sin(x 1)=0=> x 1=0 tai pii, eli x=-1 tai pii-1. Pii-1 on sillä alueella, mutta en osaa sanoa mikä funktion arvo on, varsinkaan jos funktiota ei edes ole olemassa.
Funktion F ääriarvot saadaan deriivaatan nollakohdassa, joten sinun tulee sijoittaa pii-1 x:n paikalle integraalissa. Ja derivaatan avulla näet, onko ääriarvo lokaali tai globaali maksimi vai minimi.
Ongelmana tässä on vain se, että minun täytyisi osoittaa, että funktio saa suurimman arvonsa tällä välillä eikä laskea sitä, jolloin tuo derivointi ei sovellu tähän.
on olemassa: Jos funktion toinen derivaatta on derivaatan nollakohdassa negatiivinen saavuttaa funktio tässä pisteessä lokaalin maksimin.
Derivaatta on tässä sin(x 1)*e^sin(x 1)
Toinen derivaatta on: cos(x 1)*e^sin(x 1)-(sin(x 1)*e^sin(x 1)*cos(x 1))
Edellä löydettiin derivaatan nollakohdaksi ao. välillä pii-1.
Sijoitetaan se toisen derivaatan lausekkeeseen ja todetaan, että tulee cos(pii),joka on -1
Kyseessä on siis lokaali maksimi.
Tuohon ekaan tehtävään tulee ensimmäisenä mieleen käyttää koonveksisuusehtoa. Tehtävänannosta seuraa, että f-g on konveksi. Sitten osoitat, että konveksilla funktiolla ei voi olla kolmea nollakohtaa.
on aidosti kasvava jos toinen derivaatta on positiivinen vakio a. Funktio on silloin f(x)=ax^2/2 bx c.
Toisen funktion derivaatta on aidosti vähenevä, jos sen derivaatta on negatiivinen vakio d. Funktio on silloin
g(x)= dx^2/2 ex h.
Funktiot ovat samat jos ax^2/2 bx c-dx^2/2-ex-h=0. Toisen asteen yhtälö, jolla korkeintaan kaksi reaaliratkaisua.
Tuo on vain erikoistapaus. Esimerkiksi funktion e^x toinen derivaatta on kaikkialla positiivinen, mutta f ei ole toisen asteen polynomi.
Korvaa f sanalla se,
ensimmäistä. Jos yhtälöllä f(x)=g(x) on kolme ratkaisua se edellyttää, että jomman kumman tai molempien funktioiden derivaatalla on kaksi nollakohtaa. Ja se taas edellyttää, että toisella derivaatalla on yksi nollakohta. Ja kun näin on, niin silloin kyseinen funktio ei ole aidosti kasvava tai vähenevä, koska toinen derivaatta ei ole aina positiivinen tai negatiivinen. Yhtälöllä ei siis voi olla kuin korkeintaan kaksi ratkaisua, koska silloin funktioiden toiset derivaatat ovat positiivisia ja negatiivisia, ja ensimmäiset derivaatat aidosti kasvavia ja väheneviä,
lauseeseen, tai on sovellettu lausetta: Jos funktion derivaatalla on jollakin välillä n nollakohtaa, niin itse funktiolla on tällä välillä enintään n 1 nollakohtaa.
http://www.helsinki.fi/jarj/ktto/tukikurssi/s2010/mattuki9.pdf
nyt vaikea. Kokeillaas vielä.
Jos derivaatat ovat aidosti kasvava ja vähenevä, niin toiset derivaatat ovat positiivinen ja negatiivinen.
Niillä ei siis ole nollakohtia.
Silloin derivaatoilla on tuon lauseen mukaan korkeintaan yksi nollakohta, ja itse funktioilla korkeintaan kaksi nollakohtaa, eli yhtälöllä f(x)=g(x) on korkeintaan kaksi ratkaisua.
Jotain apuja:
"Oletetaan, että f ja g ovat sellaisia kahdesti derivoituvia funktioita, että f' on aidosti kasvava ja g' on aidosti laskeva. Osoita, että yhtälöllä f(x)=g(x) on korkeintaan kaksi ratkaisua. (Vihje: tee vastaoletus, että ratkaisuja on (ainakin) kolme)."
Oletetaan, että funktiolla h(x) = f(x) - g(x) on ainakin kolme nollakohtaa. Tällöin funktiolla h'(x) on ainakin kaksi nollakohtaa eli f'(x) = g'(x) ainakin kahdessa kohdassa. Nyt voi olettaa erilliset x1 < x2 jolloin f'(x1) < f'(x2) sekä g'(x1) > g'(x2), josta tulee ristiriita.
"Osoita sopivalla sijoituksella, että integraali 0:sta 2:teen x^p*(2 − x)^qdx = integraali 0:sta 2:teen x^q*(2 − x)^pdx pätee kaikilla reaaliluvuilla p, q > 0."
Sijoitus lienee y = (2-x), jolloin dy = -dx jne.
"Saako funktio F(x)=integraali 0:sta (x 1):seen sin(t)*e^(sin(t))dt suurimman arvonsa avoimella välillä 0:sta
piihin?
Tämän olen jo integroinut ja saanut tulokseksi:
(e^(sin(t))*(sin(x 1)-cos(x 1)))/2 En vain tiedä kuinka tästä jatkaa osoittaakseni, että funktio saa suurimman arvonsa tällä välillä."
Suurin arvo on joko derivaatan nollakohdassa tai välin reunassa. Derivaatta on melkein suoraan tuo integrandi, mutta tuo x 1 vs. x pitää muistaa huomioida. Tuo integraalisi on kyllä väärin ja tuskin tuolle sitä pystyy edes laskemaan. Mutta tutkimalla derivaatan merkkiä alussa ja lopussa sekä laskemalla toisen derivaatan merkit välillä olevissa derivaatan nollakohdissa pitäisi homma onnistua.
Kiitos kamalasti kaikille avuista. Auttoi paljon ja sain juuri lähetettyä kaikki tehtäväni :) Ajatus alkaa heti luistamaan paremmin kun joku sanoo mielipiteensä ja antaa edes pienen vinkin. Loppujen lopuksi tehtävät eivät olleet niin ylitsepääsemättömiä kuin aluksi kuvittelin. Nyt odottelen vain opettajan komentteja tehtävistä. Kiitos vielä kerran. Pelastitte päiväni :)
siinä kävi ?