Määritä vakiot A ja B siten, että funktio F : F(x) = A ln (1 - x) B ln(x 2) on funktion f : f(x) = (3x 1) / (x^2 x - 2) integraalifunktio välillä ]-2, 1[.
Tehtävä on vuoden 88 syksyn ylioppilastehtävä. Olen kyllä derivoinut F:n, mutta en tajua, miten tuo väli otetaan huomioon vastauksessa. Eli en kaipaa oikeaa vastausta, vaan vihjettä siitä, miten koko homma pitäisi ymmärtää (ja saa sitä laskeakin, vaikka kokonaankin, jos haluaa).
Tehtävä on vuoden 88 syksyn ylioppilastehtävä. Olen kyllä derivoinut F:n, mutta en tajua, miten tuo väli otetaan huomioon vastauksessa. Eli en kaipaa oikeaa vastausta, vaan vihjettä siitä, miten koko homma pitäisi ymmärtää (ja saa sitä laskeakin, vaikka kokonaankin, jos haluaa).
Vastaukset 7
Vanhimmat
ei ole mmääritelty muuta kuin tuolla välillä. Ts. menee negatiiviseksi tuo ln:n sisältö muilla x:n arvoilla kuin tuolla avoimella välillä.
En huomannut edes sitä. Entä miten saadaan aikaiseksi yhteys F:n ja f:n välille noiden kertoimien avulla, ts. miten kertoimet määritetään?
Olen siis saanut F:n derivaataksi (A B)((2x 1) / (x^2 x - 2)). En vain tajua, miten A:n ja B:n avulla siitä saa tehtävässä mainitun f:n integraalifunktion.
olet lähtenyt väärästä päästä. Tässä täytynee hakea se integraalifunktio kun sitä kerran kysytään, ja silloin tarvitaan osamurtohajotelmaa.
Ensiksikin x^2 x-2=(x 2)(x-1), eli f(x)=(3x 1)/((x 2)(x-1)).
Osamurtohajotelmana:( K/(x 2)) (M/(x-1))=(K(x-1) M(x 2))/((x 2)(x-1))
Tuon on oltava (3x 1)/((x 2)(x-1)), eli Kx-K Mx 2M=3x 1, eli x(K M) 2M-K=3x 1
K M=3
2M-K=1=>M=4/3 ja K=5/3
siis f(x)=5/3/(x 2) 4/3/(x-1)
Tuo on nyt muutettava samannäköiseksi kuin annettu integraali funktiokin, eli f(x)=5/3/(x 2)-4/3/(1-x)
Sitten integroidaan ja tulee F(x)=5/3ln(x 2) 4/3ln(1-x) C
Nyt vihdoin saadaan A=4/3 ja B=5/3 ja C=0
kannattaisi tehdä f(x):n osamurtokehitelmä, integroida se, ja verrata F(x):ään.
Sain tehtävän ratkaistuksi lähtemällä derivoinnista liikkeelle. Derivaatan yksi muotohan on (A / (x - 1)) (B / (x 2)). Siitä kun tekee yhtälön f:n kanssa, niin lopulta päädytään oikeaan vastaukseen ihan helposti (sama A:n ja B:n yhtälöpari kuin osamurtokehitelmässä tuossa ylempänä). Kiitokset vastauksista.
P.S. Jotenkin huvittavaa muuten, että Suomi24 vaikuttaa matematiikan osalta olevan aivan kätevä foorumi. :) Trollejakin on vain nimeksi, ja vastaus tai apuja tuntuu löytyvän melkein tehtävään kuin tehtävään.
olin väärässä.
Integraalifunktiohan määritellään niin, että F(x)=f(x):n integraalifunktio, jos F(x):n derivaatta on f(x). Eli kyllä se derivointitapa on oikein. Tällainen määritelmä olisikin aika huvittava:
F(x) on f(x):n integraalifunktio, jos f(x):n integraalifunktio on F(x).