Laplace

Erityisesti elektroniikassa Laplace muunnoksesta on ihan selvää "käytännön" hyötyä. Voidaan osoittaa että kun Laplace muunnosta sovelletaan induktanssiin L ja kapasitanssiin C, saadaan induktanssin kompleksiseksi impedanssiksi Ls ja kapasitanssin vastaavaksi 1/Cs. Jonkin induktansseja, resistansseja ja kapasitansseja sisältävän virtapiirin ominaisuuksia voidaan laskea noilla kompleksisilla impedansseilla ja sitten kun on päädytty lopputulokseen, voidaan virtapiirin reaalimaailman käyttäytyminen löytää imaginaariakselilta sijoittamalla s:n paikalle s = jω, jossa ω on kulmataajuus eli 2πf.

Induktansseja ja kapasitansseja sisältävä virtapiiri noudattaa käyttäytymisessään sääntöjä, jotka voidaan ilmaista vain kompleksiluvuilla ja reaalimaailman olioina pystymme havaitsemaan/mittaamaan niitä vain imaginaariakselilta. Laplace muunnos on vähän kuin "taikatemppu", jolla virtapiirin salat saadaan hallintaan.

lisäystä kirjoitti:

Erityisesti elektroniikassa Laplace muunnoksesta on ihan selvää "käytännön" hyötyä. Voidaan osoittaa että kun Laplace muunnosta sovelletaan induktanssiin L ja kapasitanssiin C, saadaan induktanssin kompleksiseksi impedanssiksi Ls ja kapasitanssin vastaavaksi 1/Cs. Jonkin induktansseja, resistansseja ja kapasitansseja sisältävän virtapiirin ominaisuuksia voidaan laskea noilla kompleksisilla impedansseilla ja sitten kun on päädytty lopputulokseen, voidaan virtapiirin reaalimaailman käyttäytyminen löytää imaginaariakselilta sijoittamalla s:n paikalle s = jω, jossa ω on kulmataajuus eli 2πf.

Induktansseja ja kapasitansseja sisältävä virtapiiri noudattaa käyttäytymisessään sääntöjä, jotka voidaan ilmaista vain kompleksiluvuilla ja reaalimaailman olioina pystymme havaitsemaan/mittaamaan niitä vain imaginaariakselilta. Laplace muunnos on vähän kuin "taikatemppu", jolla virtapiirin salat saadaan hallintaan.

Tuo s = jω itse asiassa tuottaa Fourier-muunnoksen, joka on formaalisti melkein samanlainen kuin Laplace-muunnos, mutta tuottaa piirin stationäärisen ratkaisun. Joka toki on vaihtovirtapiireille erittäin hyödyllinen juttu. Laplace-muunnoksella taas piirin käyttäytyminen voidaan ratkaista niin, että alkutransienttikin huomioidaan.

Mutta differentiaaliyhtälöiden ratkaisusta tuossa piirianalyysin tapauksessakin on kysymys - induktanssi kun on vähän niin kuin vastus, jonka resistanssi (impendanssi) on L kertaa derivointioperaattori ja kapasitanssi taas 1/C kertaa integrointioperaattori. Derivoinnin Laplace-muunnos on s ja integroinnin 1/s.

adqweqweqwewe kirjoitti:

Tuo s = jω itse asiassa tuottaa Fourier-muunnoksen, joka on formaalisti melkein samanlainen kuin Laplace-muunnos, mutta tuottaa piirin stationäärisen ratkaisun. Joka toki on vaihtovirtapiireille erittäin hyödyllinen juttu. Laplace-muunnoksella taas piirin käyttäytyminen voidaan ratkaista niin, että alkutransienttikin huomioidaan.

Mutta differentiaaliyhtälöiden ratkaisusta tuossa piirianalyysin tapauksessakin on kysymys - induktanssi kun on vähän niin kuin vastus, jonka resistanssi (impendanssi) on L kertaa derivointioperaattori ja kapasitanssi taas 1/C kertaa integrointioperaattori. Derivoinnin Laplace-muunnos on s ja integroinnin 1/s.

Muistuu mieleen kun onlin noita jo vuoden tai pari kompleksitasossa pyöritellyt Otaniemessä. Oli kevät ja raitilla tuli vastaan kotipuolen poikia, jotka olivat tulleet valmennuskursseille. Pojat olivat vähän turhautuneet uusiin asioihin ja vahvasti sitä mieltä että mihin kummassa voi ihminen tarvita imaginaarilukuja. Ytritin siinä sitten varovasti vihjailla että voisi niitäkin nyt varmuuden vuoksi vähän kertailla ;)