niin, mitä mieltä te olette? onko 0.9999... sama luku kuin 1????
minun mielestäni tuo 0.9999.... on luku joka ikuisesti lähenee ykköstä muttei koskaan saavuta sitä, ja se on aina vähän ykköstä jäljessä. EI SE SIIS VOI OLLA 1!!!!!!!!
minun mielestäni tuo 0.9999.... on luku joka ikuisesti lähenee ykköstä muttei koskaan saavuta sitä, ja se on aina vähän ykköstä jäljessä. EI SE SIIS VOI OLLA 1!!!!!!!!
Vastaukset 43
Vanhimmat
Jos olet koululainen, sinun voi olla vielä hankala ymmärtää sitä. Tuota on kysytty ennenkin, ja joku voi Sulle hakeakin valmiiksi noita edellisiä ketjuja aiheesta.
Jos 0,9999...ei ole 1, täytyy olla olemassa luku, joka on suurempi kuin 0,9999... mutta pienempi kuin 1.
Mikähän se olisi?
"Jos 0,9999...ei ole 1, täytyy olla olemassa luku, joka on suurempi kuin 0,9999... mutta pienempi kuin 1.
Mikähän se olisi?"
Joten jos meillä ei olisi desimaaleja niin 1=2=3=4=5jne, eli kaikki luvut ovat samanarvoiset...
Ajattelen, siis olen olemassa ---> muistan, siis olet olemassa
"Joten jos meillä ei olisi desimaaleja niin 1=2=3=4=5jne, eli kaikki luvut ovat samanarvoiset... "
Ei.
Jos kaksi lukua eivät ole samat, täytyy olla olemassa (itse asiassa ääretön määrä) lukuja, jotka ovat niiden välissä.
Jos 0,999... ei ole 1, pitäisi siis olla olemassa lukuja, jotka ovat suurempia kuin 0,999... mutta pienempiä kuin 1. Mikähän tuollainen luku voisi olla?
Koska selvästikään tuollaista lukua ei voi olla olemassa, täytyy 0,999... = 1.
Näin on näppylät!
...mutta minkä teorian korjaamiseksi ollaan tähän lopputulokseen on päädytty?
logiikan mukaan luku 0,999... jatkuu äärettömästi, ja siinä hetkessä jolloin päädytään että käytetään sievennys 0,999..... on 1, katkeaa lukujono ja ollaan pyöristetty 0.000...1 pois siitä luvusta.
otetaan 0 - 0,999... ja ilman pyöristys se saa arvon -0,999...
jos nyt käytetään pyöristys niin ollaan jo pyöristetty pois 0,000...2 oikeasta tuloksesta.
Eli matematiikka työkaluna on tullut epätarkka, tämä on verrattavissa puukkoon jolla on aluksi terävä terä ja tietyn käyttötarpeeseen päädytään pyöristämään tämän terän-nyt puukko on käyttökelpoinen tähän tehtävään mutta puukkona se on susi.
Taikka otetaan laskin:
Tässä tapauksessa vanha kunnon Texas Instrument TI-86
Haluat laske massallisen kappaleen liike energia käyttäen suppea suhteellisuusteoriaa
1/sqr(1-(v^2/c^2))mc^2 ja v vaikkapa 10m/s
-->esim 10^2/c^2=1.11265005605E-15
vähennetään tämä pieni luku ykkösestä ja saat vastaukseksi 1E0 eli 1.
Tyydytään sitten tähän ja lasketaan sqr(1-1) --->sqr0=0
1/0 ...jepjep ;)
1/0 mc^2 ...että näillä sitten mennään ;) ;)
Tämä on laskimen ominaisuus ettei 1E-12 pienempi luku voidaan vähentää toisesta mutta 9.9E999 astiin ainakin päästään - eli tähän hommaan se on susi.
Voihan käyttää määritelmä 0.999...= 1 mutta silloin pitää tietää ettei se vaikuttaa lopputulokseen.
Tiedätkö?
Joten 0.999... = 0.999... jos äärirajoihin mennään
Yleisperiaate ja filosofia menee niin, että mitä vähemmän asia on hallussa, sitä varmempi mielipide :)
Matematiikka ja ns.laskento kun ovat hieman eri asioita. Sovelletussa matematiikassa on tosin paljon lauseita ja menetemiä, millä hallitaan käytännön laskuja, esim.sarjoja käytettäessä, ettei pyöristysvirheet kasaannu ja vie tulosta pieleen.
Tämähän oli mielenkiintoista-millä nimellä ja kenen teoria tällainen on?
jos 0,999...on 1 niin äärettömyys loppuu yhden kohdalla ja näin ei ole ääretön enää.
Jos kuiteskin 0,999... äärettömänä on 1, niin se äärettömyys ilmiönä jatkuu ykkösen jälkeen ja näin ollen se ei ole lukusarja jota on määretty äärettömäksi vaan sen lukuarvon alla piilevä ominaisuus-eli symbolisesti ei ole kyetty määritellä se ominaisuus sellaisenaan vaan karkeistus siitä.
Eli onko sinulla tylsä puukko käytössä?
Et taida ymmärtää äärettömän käsitettä?
Se ei ole mielipidekysymys. Matemattisesti voidaan todistaa, että 0.999... = 1, olit sitten mitä mieltä tahansa.
ei ed.vastaaja ole tarkoittanut sitä mielipiteeksi :)
Mikähän se olisi?-kysymys on siinä antiteesin oloinen, eli tulkitsit vastauksen laatua väärin
Lukujono 0.9, 0.99, 0.999,.0,9999,... lähenee raja-arvonaan lukua 1. Kuten jokainen yliopistossa hiukan matematiikkaa opiskellut tietää, niin raja-arvo määritellään seuraavasti:
Olkoon luku € > 0. Lukujono a_1, a_2, a_3,... lähenee raja-arvonaan lukua a, jos on olemassa kokonaisluku n(€) > 0 (tarkoittaa sitä, että n riippuu luvusta €), niin että |a_n - a| < €, kun n > n(€).
Yllä olevassa tapauksessa siis luvut a_n ovat muotoa 0.999.., missä on n kpl yhdeksikköjä desimaaliosassa. Todetaan, että 1 - a_n = 1/10^n (n > 0). Milloin siis on 1 - a_n = |a_n - 1| = 1/10^n < €? Tästä saadaan, että 10^n > 1/€. Ottamalla 10-logaritmi lg tulee lopuksi, että
|1 - a_n| < €, kun n > max(0, -lg €).
Näin on juhlavin menoin todistettu, että mainittu lukujono 0.9, 0,99, 0.999, .... lähenee raja-arvonaan lukua 1, kun käytetään raja-arvon vakiintunutta määritelmää. Matematiikan perusteiden tutkijat voivat sitten riidellä tämän määritelmän validisuudesta. Matematiikan huomattavat osat käyttävät tätä määritelmää ja hyvin on pyyhkinyt.
Todistuksen voi tehda myos keskiarvon kautta. Pahus kun nappis on sekaisin. Lukujen 0.999... ja 1 keskiarvo sijaitsee naiden lukujen valissa, joten 0.999... 1=2 kertaa 0.999... Vahentamalla 0.999.. puolittain saadaan 1=0.999... .
Heh-heh, jopas vitsin murjaisit, tosin hyvin alkeellisen.
Missä tuo päättely menee pieleen?
Vitsi on siinä, että desimaalijärjestelmän konstruoinnissa tarvitaan oikeasti lukujonon raja-arvon määritelmää.
Virhe on oletuksessa "0.999... 1=2", koska siinähän asetetaan 0.999... = 1. Ei siis käy todistuksesta, että 0.999... = 1.
Wikistä taitaa löytyä yhtä jos toista todistusta väitteelle.
Siinä oli rivinvaihto , ja rivi on 0.999... 1=2*0.999... . Lisäksi on käytetty sitä faktaa, että keskiarvo on aina lukujen välissä. Mutta desimaaliluvun ja kokonaisluvun yhteenlasku palautuu lopulta desimaaliluvun konstruktioon ja niiden laskusääntöihin sekä suppenemiseen.
Tässä helposti(?) ymmärrettävä perustelu:
Merkitään x = 0.999.... , jolloin 10x = 9.999...
Kun vähennät vasemmat puolet toisistaan, on sen oltava sama kuin jos vähennät oikeat puolet toisistaan, eli
10x = 9.999...
x = 0.999...
- ____________
9x = 9
, mistä seuraa, että x = 1.
10x = 9.999...
x = 0.999...
- ____________
9x = 9
10x=9,999999999...
x=0,999999999...
Ajattelen, siis olen olemassa ---> 1928AD ---> muistan, siis olet olemassa
Jos on helppo hyväksyä, että 1/3 = 0,333... , niin miksei sitten 1 = 0,999...? Tuota voi kokeilla jääräpäiden kohdalla.
mutta eipa se matematiikka sinällään ole "jääräpääriippuvainen" (so.olisi oikein vasta sitten kuin viimeinenkin jääräpää uskoo), vaan oikeelisuudelle on ihan omat matematiikan sisäiset kriteerinsä ja todistuksensa. Ja sitten kun se on todistettu, niin oikein se on vaikka löytyisi vielä extreme jääräpäitä, jotka haluaisivat jäynätä edelleen :)
http://www.tiede.fi/keskustelut/kemia-fysiikka-ja-matematiikka-f3/0-999-1-t1482.html
Tämä 1=0,999999999999... on mainio aloitus jutteluun (sen ainaisen "millainen sää ulkona on?" tilalle). Hullunleima otsaan ennen kuin kukaan tajuaa että asia opetetaan jo lukiossakin.
USKONTO
1 potenssiin ääretön =1. Eikös 0.999... potenssiin ääretön tulo pienene koko ajan?
Ensinnäkään ääretön ei ole luku, joten se ei voi myöskään esiintyä potenssiin korottamisessa.
Toiseksi, (0,999...)^n = 0,999... = 1, kaikilla n. "Tulo ei pienene" n:n kasvaessa, koska 0,999... = 1.
Vielä kerran kertauksen vuoksi:
Jos 0,999... ei olisi 1, pitäisi olla olemassa sellainen luku x, jolle pätee 0,999... < x < 1. On selvää, ettei tällaista lukua x voi olla olemassa, joten 0,999... = 1.
0,999...
9/10 9/100 9/1000 ...
Geometrinen sarja, jonka
q=1/10 ja a1=9/10
Koska IqI=I1/10I=1/10
Nuo laskennalliset todistukset ovat toki näppäriä perusteluja jos luottaa laskutoimituksiin, eikä kyseenalaista niiden voimassaoloa päättymättömille desimaaliluvuille. Jos kuitenkin haluaa eliminoida kaikki virhemahdollisuudet, niin tuo koko alkuperäinen väite seuraa aikalailla suoraan reaaliluvut määrittävästä täydellisyysaksioomasta ilman sen kummempaa laskutoimitusten miettimistä. Kyseessä on siis täysin suora seuraus reaaliluvut määrittävästä SOPIMUKSESTA, sen kummempaa mystiikkaa asiaan ei sisälly.
Täydellisyysaksiooman mukaan jokaisella ylhäältä rajoitetulla reaalilukujonolla on reaalilukujen joukossa pienin yläraja eli supremum. Supremum puolestaan on määritelmänsä nojalla helppo todeta yksikäsitteiseksi. Kun noita huomioita soveltaa päättymättömään lukujonoon 0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, ..., niin huomataan, että sekä 1 että 0.999999... ovat tuon jonon supremumeja. Yksikäsitteisyyden vuoksi niiden on siis oltava sama luku.
Kaikki nuo edellämainitut asiat löytyvät helposti pienellä googlettamisella, tai esim. osoitteesta
http://fi.wikipedia.org/wiki/Supremum
Todistus
x=0,999...
100x=99,999...
100x-x=99,999...-0,999...
99x =99-----// : 99
x = 1-----> x=0,999...=1
Toivottavasti ymmärsitte :)
Tuosta ei ota selvää Erkki kännissäkään..
ok täs tää sama ehkä vähä selvemmin
Sovitaan x:n arvoksi 0,999..., niin 100 kertaa x on 99,999...
----- x=0,999...
100x=99,999...
miinustetaan yhtälöt toisitaan
100x-x=99,999...-0,999...
99x =99 -------------------// : 99
x = 1-----> x=0,999...=1, tämä tarkoittaa, kun x on 1 ja samaan aikaan x on
--------------------------------0,999... tästä seuraa, että ne ovat yhtä suuria. eli
--------------------------------1=0,999...
Oleellista asiassa on algebran ja topologian yhteensopivuus. Surrealilukuihin kannattaa tutustua, jos aihe kiinnostaa. Jos luvuille halutaan mielekkäät laskutoimitukset, niin on sovittava että 0.999....=1.
Voi herranjestas että on kansa pihalla matematiikan perusteista. Hienoa työtä koululaitos!
Normaali tapa konstruoida reaaliluvut on käyttäen ns. Dedekindin leikkauksia (http://en.wikipedia.org/wiki/Dedekind_cut). Kun tämän ymmärtää, on selvää että reaaliluku 0.999... on sama kuin luku 1.
Mutta kyllä tämän voi helpomminkin ymmärtää. Ensimmäinen kysymys pitäisi olla: mitä tarkoittaa symboli 0.999... ? Ei äärettömyydestä voi puhua kuin autoista. Matematiikassa kaikki käsitteet täytyy määritellä täsmällisesti. Mahdollinen tapa määritellä 0.999... olisi esim. seuraava:
0.999... on pienin reaaliluku joka on suurempi kuin mikään 0.99999...9 (äärellinen määrä yhdeksikköjä). No, selvästikin 1 on suurempi kuin mikään 0.9999...9. Toisaalta jos valitset minkä tahansa ykköstä pienemmän reaaliluvun (0.999... ei käy, koska nimenomaan tarkoituksena on määritellä mitä tämä symboli tarkoittaa), niin riittävän paljon yhdeksikköjä kirjoittamalla löytyy luku 0.999999...9 joka on tätä lukua suurempi. Niinpä tämä määritelmän mukaan 0.999... on täsmälleen luku 1.
Mahdollisia lähtökohtia tähän "ongelmaan" on tietysti muitakin, mutta osoittautuu että ainoa järkevä tapa määritellä symboli 0.999... reaalilukujen joukossa on määrittelemällä se luvuksi 1.
Tuo on toki kaikki totta mitä sanoit. Tarkoitin vain sitä, että myös desimaalikehitelmät voitaisiin helposti ottaa reaaliluvun täsmälliseksi perustaksi vaikka kuvausten N -> {0,1,2,..,9} avulla.
Tällöin lexicografisen järjestyksen indusoiman topologian puolesta kaikki olisi oikeastaan lopulta ok, mutta esim. laskutoimitus 1-0.999... olisi mahdotonta määritellä.
Surreaaliluvut ovat mielenkiintoinen muistutus siitä, että toinenkin katsantokanta voidaan ottaa, mutta laskutoimitukset tuottavat silloin ongelmia.
Kas kun kukaan ei ole tarkkaillut asiaa suljetun ja avoimen välin käsitteillä (vai jäikö minulta jokin viesti välistä lukematta?)
Suljettu reaalilukuväli [0,1] sisältää kaikki reaaliluvut, mukaan lukien nolla ja ykkönen.
Otetaan tästä joukosta pois luvut nolla ja ykkönen ja saadaan avoin väli (0,1), joka on siis näitä kahta lukua vaille sama kuin suljettu joukko.
Avoimella välillä ei ole suurinta (eikä pienintä) arvoa. Sillä jos valitaan jokin luku väliltä (0,1), löytyy aina (jopa ääretön määrä) luku, joka on sen ja ykkösen välissä.
Jos tarkkaillaan lukuja, jotka ovat suurempia kuin välin (0,1) luvut, niin niitähän löytyy. Pienin niistä on ykkönen. Mutta tämä ykkönen ei siis kuulu joukkoon, koska se sieltä aikoinaan kiskottiin pois kun suljetusta välistä siirryttiin avoimeen väliin.
Nyt nämä viritelmät 0.99999... kuuluvat kaikki avoimeen väliin (0,1), johon siis EI kuulu ykkönen. Jos joku hautoo ajatusta, että ääretön määrä yhdeksikköjä toisi autuuden aisaan, ei tiedä, mistä puhuu. Useimmat eivät tiedä, mistä puhuvat, kun puhuvat äärettömästä. Itseni mukaan lukien.
Mutta se on satavarmaan, ettei valiin (0,1) kuulu ykköstä :)) Sen sijaan siihen saa latoa mieleisensä määrän yhdeksikköjä sisältäviä reaalilukuja.
Se, että jonkin lukujonon raja-arvo on ykkönen, ei tee sitä jonoon (joukkoon kuuluvaksi).
Aivan niin. Kun poistat ykkösen, niin poistat myös 0,9999.....:n.
Olet suorittanut klassillisen kehäpäätelmän.
No, jos oletetaan, että 0.99999.... on ykkönen, niin sitten tietenkin ykkösen poistamisella menee e.m. ötökkäkin. Mutta ehkä emme nyt oleta sitä, mikä pitäisi todistaa :)
Oskari47: avoimelle välille (0,1) kuuluu kyllä mikä tahansa muotoa 0,999...9 oleva luku, jossa on ÄÄRELLINEN määrä yhdeksikköjä. Sen sijaan mistään reaalilukujen ominaisuudesta EI seuraa, että tuo PÄÄTTYMÄTÖN desimaaliluku 0,999... kuuluisi avoimelle välille (0,1). Tuo seuraisi ainoastaan, jos OLETAT jo valmiiksi, että 0,999.... < 1. Tätähän sinä en kuitenkaan voi olettaa, koska tämä on nimenomaan sinun VÄITTEESI (joka siis on väärä väite, kuten tuolla edellä jo täydellisyysaksiooman pohjalta todettiin). Teit siis kehäpäätelmän.
Ei ole sama luku.
Fysikaalisessa maailmassa tuo olematon ero voi esiintyä esim. kullan puhtaus asteessa.
Toisaalta, reaktio voi jäädä tapahtumatta mikäli ykköseen ei päästä.
Vaan approksimaation keinoin päädytään 0.9999.sta (tai 0.99999999999999999999999999) ykköseen.
Ei teitä todella kiiinnosta. Se on ikävää, kiitos kolulaitoksen.
Jos vanhoihin Cantor-Dedekind reaalilukuihin liitetään luvun 0.99999.... kaltaiset luvut ei loogita ristiriitaa synny, vaan ominaisuuksiltaan erilainen järjestelmä. Tattista minun puolestanii!
Koskakohan joku väittää, että luku 1,000... ei ole 1.
Samasta asiastahan tuossa on kyse kuin luvussa 0,999...
Luvut ovat samat. Tässäpä vielä aksiomaattinen todistus: http://blogs.helsinki.fi/kulikov/2011/07/10/0-999999-1-continuation/#more-1036