Tämänpäiväisessä matematiikan kokeessa (MAA 9) eräs tehtävä sai minut hämmentymään. Kun olin saanut vaikeimmat sovellus-tehtävät tehtyä oikein, huomasin, että yksi perustehtävä tuntui jotenkin ylivoimaisen vaikealta. Pidemmittä puheitta:
Tarkka arvo yhtälölle tanx = 2.
(Jotenkin hauskalla tavalla aloin ajatella, että jos koko tehtävä olisikin aprilli-pilaa, mutta voi olla, että ajattelin koko laskun jotenkin väärin)
Tarkka arvo yhtälölle tanx = 2.
(Jotenkin hauskalla tavalla aloin ajatella, että jos koko tehtävä olisikin aprilli-pilaa, mutta voi olla, että ajattelin koko laskun jotenkin väärin)
Vastaukset 9
Vanhimmat
Mitäs tangentti tarkoittikaan? Mikä pitää kulman olla, että pitempi kateetti on 2 lyhemmän ollessa 1?
En jaksaisi alkaa arvuuttelemaan, mutta tiedät vastauksen niin kerro ihmeessä.
Olisiko x = arctan 2 liian triviaali?
Jos en ilmaissut asiaani tarpeeksi selväksi, niin muotoilen nyt kysymykseni uudelleen:
Onko olemassa tarkkaa vastausta yhtälölle tanx = 2 (Esimerkiksi neliöjuuri jostain luvusta, rationaaliluku tai molempien yhdistelmä). Toisin sanoen: Mikä tarkka luku arvo vastaa desimaalilukua 1,107148718...?
MAOL ei anna vastausta, eikä myöskään Wolfram Alpha. Tiedän kyllä, että yhtälön voi muotoilla uudelleen, mutta se ei ole hakemani vastaus.
http://en.wikipedia.org/wiki/Exact_trigonometric_constants
http://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_trigonometric_functions
Tarkkaa arvoa voi lähestyä sarjateorian kautta. Jos ehtona olisi tarkkuus yhdeksään desimaaliin niin k = 91. Silloin
res = lambda x,k: sum([2**(2*n)*prod(srange(1,n+1))**2/prod(srange(1,2*n+2))*x**(2*n+1)/(1+x**2)**(n+1) for n in range(0,k+1)])
print "%0.9f"%(arctan(x))
print "%0.9f"%(res(2,90))
print res(2,90)
xdata = range(0,100)
ydata = [res(2,i) for i in xdata]
G = scatter_plot(zip(xdata,ydata),markersize=5)
show(G)
ja tuloste olisi
1.107148718
1.107148718
326155333729333056250486393250833875341973525002661925467757641985201266\
750788566805779239154368294095600284289450548282542772715424799194614/29\
459035499785519777669098769980858467256120269012609904366130717248797861\
2599911611341952445401889092158054239689590758644044399261474609375
sekä
http://img860.imageshack.us/i/sage0.png/
Opettajasi on nyt tehnyt jonkin (mahdollisesti ladonta-)virheen.
Fiksu opettaja selvittänee sinulle (ja luokalleen) asian.
Kyllä tämä nyt aprillipilalta vaikuttaa. Mikään nätti lauseke ei tuon kulman tarkka arvo missään tapauksessa ole.
Tulkitsen, että tehtävä on siis mahdotonta ratkaista ohjeiden mukaan. Aloin epäillä tätä jo, kun kuulin muidenkin ihmetelleen sitä. Varsinkin kun tehtävä on aivan alkupäästä. Kyseessä saattaa olla puhdas virhe, mutta toisaalta on vaikea löytää jokin tanx:n arvo, joka olisi oikeasti lähellä lukua 2. (Ehkä 2 sqrt(3)) Kiitos vastauksesta!
On syytä erottaa käsitteet tarkka arvo ja suljettua muotoa oleva luku. Jokainen reaaliluku on kyllä tarkka arvo. Suljettua muotoa oleva luku on selitetty osoitteessa http://arxiv.org/abs/math/9805045v1