En oppinu näitä kunnolla lukiossakaan ja nyt oonki sit ihan hukassa ku kurssilla tuli taas permutaatiot vastaan, esimerkiksi tällanen tehtävä:
"Olkoon ९ = (k₁ k₂ ... k_r) ∈ S_n kierto ja π ∈ S_n jokin permutaatio (r≤n).
Osoita, että permutaatio π९π^-1 on myös kierto ja että
π९π^-1 = (π(k₁) π(k₂) ... π(k_r)).
a) Valitse konkreetit permutaatiot, joille r=5, n=7 ja π ei ole kierto, ja totea tällöin väitteen pitävyys.
b) Todista väite yleisesti."
Osaisko joku auttaa, miten tällaisia ratkaistaan?
"Olkoon ९ = (k₁ k₂ ... k_r) ∈ S_n kierto ja π ∈ S_n jokin permutaatio (r≤n).
Osoita, että permutaatio π९π^-1 on myös kierto ja että
π९π^-1 = (π(k₁) π(k₂) ... π(k_r)).
a) Valitse konkreetit permutaatiot, joille r=5, n=7 ja π ei ole kierto, ja totea tällöin väitteen pitävyys.
b) Todista väite yleisesti."
Osaisko joku auttaa, miten tällaisia ratkaistaan?
Vastaukset 5
Vanhimmat
Eikös tuon voi ajatella niin, että permutaatio vaan vähän niin kuin uudelleennimeää alkiot.
Voisin koettaa miettiä, mutta en tiedä, miten määrittelet kiertopermutaation? Mieleen tulee lähinnä permutaatiot, joissa siirrät jokaista alkiota k_i alkiolle k_i n mod n 1, mutta tällöin permutaatio pitää joko kaikki alkiot paikoillaan tai siirtää jokaisen alkion pois alkuperäiseltä paikalta, jolloin olisi välttämättä r=n.
hmm.. siis kierto on esim. ९ = (1 4 5 3 2) eli alkio 1 kuvautuu alkioksi 4, alkio 4 alkioksi 5, alkio 5 alkioksi 3, alkio 3 alkioksi 2 ja alkio 2 sit takaisin alkioksi 1. Kiertopermutaatio voidaan siis kirjoittaa yksirivisenä kaksirivisen muodon lisäksi. Vai ymmärsinköhän nyt edes kysymystä..
Mutta äh miten tossa a-kohdassa edes voi olla n isompi kuin r, tai tarviiko sitä ottaa huomioon..? Voinko laittaa permutaation alkioiksi vain luvut 1-5, ९:ssa kierroksi ja π:ssä niin, ettei kiertoa synny? Niin tekemällä sain ainakin tosta π९π^-1 -tulosta tulokseksi kierron.. Mut mites toi n=7...
Luku r on siis ton kierron ९ pituus, kierron pituuden r ei tarvitse olla sama kuin ryhmän aste n, vaan se voi olla pienempi. Olennaista on että kun n = 7 --> sekä ९ että π kuuluvat ryhmään S_7. Joten voit valita ९:n viisi lukua väliltä 1-7, kunhan ne siis muodostavat kierron. π ei saanut olla kierto, joten muodostat sen erillisten kiertojen tulona. kuten (12)(34567), jolloin koko permutaatiota ei lasketa kierroksi. Näillä lasket π९π^-1 niin tulos pitäisi olla myös kierto ja helppoa on myös näyttää että π९π^-1 = (π(k₁) π(k₂) ... π(k_r)).
b- kohdan yleisestä todistuksesta en tiedä.
Yleisen tapauksen todistus http://people.brandeis.edu/~igusa/Math47aF08/M47F08Note09aa.pdf Th 3.6. Kaava pätee yleisesti permutaatioille, mutta en edelleenkään tiedä, onko käsitettä kierto määritelty missään.