Joen rannalla oleva voimalaitos halutaan liittää kaapelilla joen toisella puolella 20km päässä olevaan muutosasemaan. Joen leveys on 1km. Kaapelin asentaminen veteen on kaksi kertaa niin kallista kuin maahan. Miten kannattaa valita vastarannan piste P, jotta asennuskustannukset olisivat mahdollisimman edulliset? Minkä matkan kaapeli kulkee meressä ja minkä maassa?
Ääriarvosovellus...
?!"!"
7131
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 7
Vanhimmat
Piirrä tilanteesta kuva. Vastarannan lähin kohta on 1 km päässä, ja muutosasema siitä 20 km päässä rannan suuntaisesti. Merkitse kuvaan suora viiva voimalaitokselta vastarannelle jonnekin muutosaseman ja lähimmän pisteen välille. Viivan toisen pään etäisyys muutosasemasta vaikkapa x, ja veden ylittävän viivan pituus on helppo lausua x:n funktiona.
Hinta on sitten helppo lausua kun nuo pituudet on kirjoitettu, ja minimi löytyy tietenkin derivaatan nollakohtia tarkastelemalla.
Jos ei vielä aukea, niin kysy tarkentavia ohjeita.
Niinpä mutta mikä tämä funktio on ?!?
Hmm? Jos olet jo kirjoittanut nuo pituudet x:n funktiona noiden ohjeiden mukaan, niin lopun pitäisi olla helppoa. Olkoon l sen veden yli kulkevan osuuden pituus ja x rantaa pitkin kuljettava osuus.
kaapelin vedon koko hinta on lähtötietojen mukaan nyt
H(x) = 2al ax, missä a on maalla vedettävän kaapelin hinta pituutta kohden.
Hinnan minimiähän tuossa haetaan...
Vai oliko kysyjä joku muu tällä kertaa?
Jos x on 20 km miinus maata pitkin vedettävä matka, niin funktio on:
H(x)=2*hinta*SQRT(1^2 x^2) ((20-x)*hinta). Tuon derivaatan nollakohdasta tulee kai x=577 m. Ja ne matkat: vedessä: 1154 m, ja maalla 19 423 m
Helposti saadaan käyttämällä trigonometrisiä funktioita:
cos(alfa)=1/y, y on veten pohjaan asennettava matka= 1/cos(alfa)
tan (alfa)=(20-x)/1, x= maahan asennettava matka= 20-tan(alfa)
Kustannukset ovat K(alfa)= (2*k*y) (k*x)=(2k/cos(alfa)) (k*(20-tan(alfa)))
Tuon derivaatta on –sin(alfa)*2k/cos^2(alfa)-(k/cos^2(alfa))
Tuon kun asettaa nollaksi, niin saadaan ääriarvo, jolloin sin(alfa)=-1/2, joten y= 2/sqrt(3),
ja x=20-(1/sqrt(3)) km. noin 1150 m ja 19420 m
Kaikkea huuhaata ne keksiikin esimerkeiksi. 20 km pitkää kaapelia on aivan turha asentaa. Kaapelin kapasitanssi syö sen kuormitettavuuden koko lailla tarkkaan.
Avojohto on ainoa käyttökelpoinen ratkaisu.
Hyvä huomio. Tämä osoittaa, että koulumatematiikan n.s. sovellukset ovat useinkin teennäisiä ja jopa naurettavia. Osittain tämä johtuu matematiikan opettajien koulutuksesta. Heille opetetaan kyllä annos abstraktia matematiikaa, mutta kunnollisia sovelluskursseja on vähemmän. Niinpä opettajat eivät juuri saa tietää kuin hyödyllistä matematiika itse asiassa on. Niinpä he jauhavat ikivanhoja muka-sovelluksia.