Toisen asteen yhtälö

Toisen asteen yhtälö tarkoittaa, että sinulla on yhtälö, jossa on x^2, jos sinulla on x^3 se on kolmannen asteen yhtälö jne. Eli y=x^2 on toisen asteen yhtälö tai y=x^2 x 5 on toisen asteen yhtälö, mutta y=x 2 on ensimmäisen asteen yhtälö ja y=x^3 x^2 1 on kolmannen asteen yhtälö. Ymmärsitkö

Kaikki toisen asteen yhtälöt ovat muotoa y=ax^2 bx c. Eli jos sulla on yhtälö y=2x^2 3x 1, niin a=2, b=3, c=1.

Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava on sitä varten, että halutaan laskea funktion kuvaajan ne pisteet, joissa se kuvaaja leikkaa x-akselin. Ainoastaan silloin, kun y=0 kuvaaja leikkaa x-akselin.

Eli sijoitetaan y:n paikalle nolla vaikka yhtälöön y=4x^2 20x 9, niin se on 0=4x^2 20x 9
eli a=4, b=20, c=9

Ratkaisukaava on

-b±√(b^2-4*a*b)
x= 2a

sijoitetaan a, b ja c kaavan ja pistetään laskimeen ja siinä on vastaus


-20±√(20^2-4*4*9) -20±√(400-144) -20±16 -4 -36 -36
x= 2*4 = 8 = 8 = 8 =-0.5 tai x= 8 = -4.5

Eli x=-0.5 tai x=-4.5

Mistä putkahtaa tämä ratkaisukaava? Tarkastellaan yksinkertaisuuden vuoksi ensin yhtälöä

x^2 px q = 0.

Tavoitteena on saada siinä esiintymään kaavan

a^2 2ab b^2 = (a b)^2

näköinen otus. Niinpä pannaan vasen puoli muotoon

x^2 2(p/2)x (p/2)^2 - (p/2)^2 q = 0.

Siinä siis lisättiin ja vähennettiin termi (p/2)^2. Kolme ensimmäistä termiä kirjoitetaan yllä olevan mallin mukaisesti binomin neliöksi:

(x p/2)^2 - (p/2)^2 q = 0.

Siirretään vielä kaksi viimeistä termiä oikealle puolelle:

(x p/2)^2 = (p/2)^2 -q.

Edelleen

x p/2 = -sqrt((p/2)^2 - q),

(neliöjuuri voi olla tai -merkkinen) ja lopuksi

x = -p/2 -sqrt((p/2)^2 - q).

Yhtälöllä on 2 reaalijuurta, kun (p/2)^2 - q > 0. Nämä ratkaisut yhdistyvät kaksoisjuureksi x = -p/2, kun (p/2)^2 - q = 0.

Jos (p/2)^2 - q < 0, niin ei ole reaalisia ratkaisuja, van ne ovat kompleksialueen konjugaattisia lukuja.

Jos yhtälö oli muodossa ax^2 bx c = 0, niin se voidaan ensin muuntaa muotoon

x^2 (b/a)x (c/a) = 0, kun a != 0.

Sijoittamalla yllä olevaan kaavaan
p = (b/a) ja q = c/a, niin saadaan vatkauksen jälkeen yleisesti tunnettu ratkaisukaava.

Ratkaisukaavan johdossa käytetty neliöksitäydentäminen on vakiokamaa analyyttisessä geometriassa (ympyrän yhtälön muokkaus) ja tiettyjen integraalien laskemisessa.