Äärellisen kunnan GF(p)=GF(p^k), missä p on alkuluku ja k positiivinen kokonaisluku, multiplikatiivinen ryhmä on ilmeisestikin isomorfinen jäännösluokkarenkaan Z_{q-1} kanssa.
Miten tämä todistetaan?
Ryhmien isomorfia?
Tulipa vain mieleen
7
182
Vastaukset
- Tulipa vain mieleen
Piti tietysti sanoa, että jäännösluokkarenkaan Z_{q-1} additiivisen ryhmän kanssa.
- algebrikko
Mitä tarkoitat q:lla?
Äärellisen kunnan multiplikatiivisen ryhmän syklisyys seuraa seuraavasta lemmasta:
Olkoon G äärellinen n-alkioinen ryhmä, jossa jokaisella positiivisella kokonaisluvulla m yhtälöllä x^m=1 on korkeintaan m ratkaisua. Tällöin G on syklinen.
Todistus. Olkoon a(m) niiden G:n alkioiden lukumäärä, joiden kertaluku on m. Tällöin Lagrangen lauseen perusteella a(m)=0 jos m ei jaa lukua n. Jos a(m) erisuuri kuin nolla, on olemassa G:n alkio g kertaluvultaan m. Nyt g virittää syklisen ryhmän g', jonka kertaluku on m. Voidaan todistaa, että sillä on fii(m) virittäjää.
Siis a(m)=0 kun m ei jaa lukua n ja jos m jakaa luvun n, on a(m)=0 tai a(m)=fii(m). Lukuteoriasta tiedetään, että koska summa_{m|n} fii(m)=n ja toisaalta kaikkien lukujen a(m) summa on n, niin kaikilla n:n tekijöillä m on voimassa a(m)=fii(m). Siis a(n)=fii(n) joka on positiivinen, joten G:ssä on kertalukua n oleva alkio, joka virittää syklisen ryhmän.- Tulipa vain mieleen
'Mitä tarkoitat q:lla?'
Tulipa tuohon toinenkin näpihäiriö.
Piti olla GF(q)=GF(p^k), ts. q=p^k.
- Auktoriteetti1234
Itseasiassa vähän yleisempi ja tosi kiva teoreema on seuraava:
Minkä tahansa kunnan multiplikatiivisen ryhmän äärelliset aliryhmät on aina syklisiä.
Todistus (lienee jotain seuraavan tyylistä):
Olkoon G tämmöinen äärellinen aliryhmä. Äärellisesti viritettyjen abelisten ryhmien rakennelauseesta seuraa että sen täytyy olla muotoa Z/n_1 x Z/n_2 x ... x Z/n_k. Voidaan lisäksi olettaa että n_1|n_2|...|n_k. Nyt jokaisella näistä tekijöistä tässä tulossa on uniikki n_1-syklinen aliryhmä (Z/n:llä on uniikki k-syklinen aliryhmä jokaiselle k|n) joten ryhmässä G on yhteensä n_1^k alkiota joiden kertaluku on n_1. Siis yhtälöllä x^(n_1) - 1 = 0 on n_1^k juurta. Kunnassa tämä on mahdotonta ellei k = 1. Niinpä G = Z/n_1, eli syklinen.- Auktoriteetti1234
Eli tuo haluamasi tulos seuraa tästä nyt tosi helposti. GF(q):ssa on q-1 kääntyvää alkiota jotka muodostavat sen multiplikatiivisen ryhmän joka edellisen tuloksen nojalla on syklinen. Niinpä sen täytyy olla Z/(q-1)Z.
- Enemmän konkretiaa!
Auktoriteetti1234 kirjoitti:
Eli tuo haluamasi tulos seuraa tästä nyt tosi helposti. GF(q):ssa on q-1 kääntyvää alkiota jotka muodostavat sen multiplikatiivisen ryhmän joka edellisen tuloksen nojalla on syklinen. Niinpä sen täytyy olla Z/(q-1)Z.
Itse olen perehtynyt vain yläkoulun matikkaan.
Siis mikä kuvaus välittää tuon isomorfian? - Auktoriteetti1234
Enemmän konkretiaa! kirjoitti:
Itse olen perehtynyt vain yläkoulun matikkaan.
Siis mikä kuvaus välittää tuon isomorfian?Ikävä kyllä tuo isomorfismi ei ole yleisesti ottaen helposti kuvailtavassa, mutta seuraava taktiikka toiminee mikäli q-1:llä ei ole kovin monia alkutekijöitä.
Ensin kirjoita q-1 = (p_1)^(e_1) * (p_2)^(e_2) * ... * (p_k)^(e_k) (alkulukuhajotelma q-1:lle). Valitse satunnaisesti jokin nollasta poikkeava alkio g GF(q):sta ja laske käyttäen jotain algebraohjelmistoa (esim. Sage) g^((q-1)/p_1), g^((q-1)/p_2) jne.. Mikäli yksikään näistä ei ole 1, g on generaattori multiplikatiiviselle ryhmälle. Nyt isomorfismi on yksinkertaisesti g |---> 1.
Miten helppoa tuon generaattorin satunnaisesti valitseminen sitten on? Onneksi tiedämme ryhmän rakenteen, Z/(q-1)Z. Tällä on tunnetusti phi(q-1) generaattoria joten todennäköisyys valita generaattori sattumanvaraisesti on phi(q-1)/(q-1). Tämä todennäköisyys on lähellä 1:tä jos alkuluvut p_1, ..., p_k ovat suuria ja k (niiden lukumäärä) on pieni.
Lyhyesti sanottuna siis: Mitään helppoa yleisesti toimivaa tapaa tämän isomorfismin löytämiseen ei tunneta mutta yllä selittämäni menetelmä toimii varsin hyvin.
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
- 911087
- 123860
Sinkkumiehet hukkaavat tärkeän ässän hihastaan kun
...eivät suostu kavereiksi naisten kanssa. Mikä voi olla heillä syynä? Hyväksyvät vain naisen, joka suorastaan anelee sa103825"Kaikkien miesten asia" - kampanja on alkanut
Miehillä on naisiin kohdistuvan väkivallan lopettamisessa merkittävä rooli. Ei riitä, ettei itse tee väkivaltaa. Miesten275652- 68559
Tiedät, että en voi enää laittaa viestiä
Aikaa kulunut. Eikä se näyttäisi enää luontevalta vastata näin pitkän ajan jälkeen. Tiedän myös, että sinä et enää lait72553Lienee aika luopua siitä kaikesta
mitä meillä ikinä olikaan. Hassua, koska juuri mitään ei ole edes ollutkaan. En vaan jaksa tätä mahdotonta juttua enää j64552Lautakunta käsittelee Iisalmen kulttuuri- ja vapaa-aikajohtajan virkasuhteen purkua koeajalla:
Lautakunta käsittelee Iisalmen kulttuuri- ja vapaa-aikajohtajan virkasuhteen purkua koeajalla: "Aina valinta ei mene nap54526- 72483
- 50463