"Nelikulmion ABCD kulmain asteluvut α, β, γ ja δ muodostavat tässä järjestyksessä kasvavan aritmeettisen jonon. Tällaisia nelikulmioita on erinomaisen paljon, mutta eräs ominaisuus on niille kaikille yhteinen, mutta mikä? (vihje: laske yhteen pienimmän α ja suurimman δ asteluvut)."
Tämmöinen tehtävä. Itse sitä jo pähkäilin, ja sain kulmiksi 36,72,108 ja 144 astetta. Osaisko joku sanoa, mitä tuossa haetaan ? Ainut asia, minkä itse oivalsin on, että pienimmän ja suurimman kulman astelukujen summa on 180. Millaisia päätelmiä itse teit ? Oletetaan, että vastaus on lukion oppimäärän mukainen.
Tämmöinen tehtävä. Itse sitä jo pähkäilin, ja sain kulmiksi 36,72,108 ja 144 astetta. Osaisko joku sanoa, mitä tuossa haetaan ? Ainut asia, minkä itse oivalsin on, että pienimmän ja suurimman kulman astelukujen summa on 180. Millaisia päätelmiä itse teit ? Oletetaan, että vastaus on lukion oppimäärän mukainen.
Vastaukset 22
Vanhimmat
α
β = α d
γ = α 2d
δ = α 3d
Tässä d on siis kahden peräkkäisen jäsenen erotus.
α δ = α α 3d = 2α 3d
Toisaalta nelikulmion kulmien summa on 360 astetta, joten
α β γ δ = 360°
4α 6d = 360°
2α 3d = 180°
Pienimmän ja suurimman kulman astelukujen summa on siten aina 180 astetta.
Edelleen voidaan todeta, että kahden "keskimmäisen" kulman ( β ja γ ) summa on myös aina 180 astetta.
Teit siis kyllä oikean johtopäätöksen, mutta tuloksesi vaikuttaisi perustuvan yksittäiseen tapaukseen, jonka mainitsit. Myös esimerkiksi kulmat 6°, 62°, 118° ja 174° toteuttavat aritmeettisen jonon määritelmän.
Eipä tuollainen ole kauhean tärkeää. Olet osannut laskea luvut, ja se on tehtävän pääasiallinen sisältö. On täysin tehtävän laatijasta kiinni, mitä lukujen 36, 72, 108 ja 144 ominaisuuksia laatija on pitänyt yhteisenä. Kaikki ovat vaikkapa parillisia, yhdistettyjä lukuja, kaikkien suurin alkutekijä on alle 13 jne. Mielestäni tällaiset "arvaa mitä ajattelen" -tyyppiset tehtävät eivät kuulu matikkaan.
En nyt ihan tuota hakenut. Tarkoituksena oli siis löytää "matemaattisesti mielekäs" ratkaisu tehtävälle. Epäilin, että oma johtopäätökseni ei ollut sellainen, ja että tässä haettaisiin jotain muuta.
tosta ratkaistaan d:
2α 3d = 180°, sitä siinä haetaan
Johtopäätöksesi on oikea, kuten moni muukin vastaus. Pointtini oli vaan se, että jos kysytään kulmien yhteistä ominaisuutta, niin vastata voi sen mikä ensiksi tulee mieleen ja minkä kulmat toteuttavat. Jos pelkästään neljän kulman suuruus on annettu, niin niistä voi löytää äärettömän monta yhteistä ominaisuutta, ja kaikki ne ovat kelvollisia vastauksia. Jos haetaan jotain tiettyä ominaisuutta, pitää kysymys muotoilla jotenkin toisin, jotta vastaus olisi yksikäsitteninen.
Tässähän kysytään: "Tällaisia nelikulmioita on erinomaisen paljon, mutta eräs ominaisuus on niille kaikille yhteinen, mutta mikä?"
Nelikulmioita on monenlaisia, neliöitä, suorakaiteita, suunnikkaita , salmiakkeja rombeja jne.
Mutta tässä kun pääsee vihjeen kautta tulokseen, että ekan ja neljännen summa on 180, ja toisen ja kolmannen kulman summa on 180, niin on piirrettävä paperille ja todettava, ihan niin kuin tässä 44 on todennut, että kaikki kyseiset nelikulmiot ovat puolisuunnikkaita. (totea)
Kysytään siis selkeästi nelikulmioiden ominaisuutta , eikä kulmien astelukujen ominaisuuksia.
Se vaan on aina pualisuunnikas !
tuon kaltainen tehtävä tieten epämääräinen, mutta koulutehtävissä yleensä aina liittyy kulloinkin käsiteltävään aiheeseen ja tässä lisäksi vielä vihjeellä ohjattu, mihin pointtiin halutaan huomiota kiinnitettävän.
Sinällään mielenkiintoinen yhteys, että aritmeettisen sarjan mukaiset kulmat pakottavat nelikulmion puolisuunnikkaaksi.
Oppikirjassasi tuollaisen tiedon esilletuominen on vaan laitettu tehtävän muotoon.
Tuo ominaisuus kaiketi tarkoittaa myös, että nelikulmion ympäri voidaan piirtää ympyrä s.e. kärjet koskettavat kehää (kuten kolmion ympärille aina voidaan piirtää ympyrä). Kumotkaa jos ei ole totta :)
Ympäri piirretty ympyrä kärkien kautta edellyttää että kaikkien sivujen keskinormaalit leikkaavat samassa pisteessä.
Kolmioille se käy aina (merkilliset pisteet), tälle puolisuunnikkaalle ei.
"Kolmioille se käy aina (merkilliset pisteet), tälle puolisuunnikkaalle ei."
Mitenkähän lienee, tässä ei ole kysymys mistä tahansa puolisuunnikkaista, vaan sellaisten, joilla vastakkaisten kulmien summa on 180 astetta, niille käsittääkseni voidaan piirtää. Joku tietänee suoraan, tai sitten on kaiveltava todistusaineistoa.
Enivei, nuo on vanhan ajan geometriaa (tyyliin K.Väisälä) ja sieltä löytyy monenlaista mielenkiintoisia ominaisuuksia, jos jotakuta kiinnostaa. Sieltä maailmasta heijastumia on aloittajankin tässä pähkäilemä kysymys. Tietty, kun töksäyttäen kysytään eikä tiedä taustoja, niin tosiaan helposti ihmettelee, mitähän tässäkin halutaan :)
ps. tämä myös selvennyksenä "maisterimatemaatikko":lle
Konsyklisyys oli se geometrian termi, jonka pohjalta haluava voi monikulmio/ympyrämysteeriota tutkailla....
Nelikulmion ympäri voidaan piirtää ympäri, jos ja vain jos vastakkaisten kulmien summa on 180 astetta. Tämä on geometrian peruslause ja varmaan jokainen matikkavalmennukseen osallistunut on kuullut tästä, kun se on esitetty todistuksineen dokumentissa http://solmu.math.helsinki.fi/olympia/kirjallisuus/geomperusp.pdf kohdassa 14.
" Mitenkähän lienee, tässä ei ole kysymys mistä tahansa puolisuunnikkaista, vaan sellaisten, joilla vastakkaisten kulmien summa on 180 astetta "
Jos meni 1:2:3:4 eli 36:72:108:144, niin eiköhän tässä ollut vain nierekkäisten kulmien summa 180 astetta, ei tule puolisuunnikasta vastakkaisilla kulmilla.
Jep, sehän oli siinä! Ehkä ei ihan peruslauseita ole sikäli, että koulukurssien pakollisiin osiin ei kuulune, kun geometrian osuutta yleensäkin on vähennetty. Mutta harrastepohjalta (kilpavalmennus mm.) monenmoista näköjään on tullut vastaan, tsemppiä harrastukseen :)
Joo, kommenttini lähti tuosta "irrallisena"-viestin erillisestä ympyrämaininnasta, eikä ole tekemisissä nelikulmion vierekkäisten kulmien eikä suoranaisesti aloituksenkaan kanssa.
Mutta tulipahan pika pikaa todistus tuohon 'vastakkaiskulmalauseeseenkin', mikä sopinee tähän vanhahtavan geometrian pikakatsaukseen myös.
Tämä tehtävä on vuodelta 37 http://matemaattinenyhdistys.fi/yo/?download=1937.pdf
Onnistuit ratkaisemaan tuon jatkokysymyksen, aika hyvin vedetty !!!
Jos kaikki kulmat ovat 90 astetta, niin kyseessä on tietysti neliö, joka toteuttaa myös mainitut ehdot.
Koneellani ei avaudu vanhimmat tehtävät matemaattinenyhdistys -sivuilta.
Mikähän tuo tehtävän sisältö on, jos jollakin on vanhoja pdf.ohjelmaversioita käytössä (siitä kai jumitus johtuu)
"2. Nelikulmion ABCD kulmat A, B, C ja D muodostavat aritmeettisen sarjan. Minkä laatuinen on tämä nelikulmio? Laske sen kulmat siinä tapauksessa, että lisäksi A, B ja D muodostavat geometrisen sarjan"
36, 72, 108 ja 144 astetta. Vuoden 1937 ylioppilaskirjoitusten tehtävä, ei ihan helppo sellaiseksi. Sitä seuraava tehtävä: todistettava että ympyrään sisään piirretyistä kolmioista suurin mahdollinen on tasasivuinen, jäisi varmaan todistamatta suurimmalta osalta nykyajan abiturientilta koetilanteessa. Tosin tuohon aikaan harrastettiin kai enemmän tuollaisia tehtäviä.
Todistamiset on vaikeita, mutta tossa on ainakin yritetty osoittaa
http://aijaa.com/OxN9qr
Helppo kun sen tietää. :) Tämä käytiin jo läpi osoitteessa http://keskustelu.suomi24.fi/node/11905607