Suunnikaan ABCD sivun BC keskipiste on P ja sivun DC keskipiste on Q. Janan AP ja janan BQ leikkauspiste on R. Missö suhteessa R jakaa janan AP?
Apuja kaipailtaisiin tämän tehtävän ratkaisuun...
Apuja kaipailtaisiin tämän tehtävän ratkaisuun...
pitkän matematiikan vektorilaskentaan apuja
trx4
9259
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 9
Vanhimmat
helppoa:
......D-----------Q------C
..../.......................R..../
.../............................P
../............................/
A -------------------B
AR
= AB BP ½*PQ
= AB ½*BC ½PQ
= AB ½BC ½*(PC CQ)
= AB ½BC ½*(½*BC-½AB)
= (3/4)AB (3/4)BC
= (3/4)(AB BC)
RC
= ½*QP PC
= ½BC-½PQ
= ½(BC-½(BC-AB))
= (1/4)BC (1/4)AB
=(1/4)(AB BC)
|RC|/|AR|= (1/4)/(3/4) = (1/4)*(4/3)=1/3
Merkataan: u ja v ovat vektoreita, jotka lähtevät pisteestä R
RP=u =>AP=r*u
RQ=v=>BQ=s*v
Suunnikkaan sivut
AB=AP-½BC=(r*u)-½BC
BC=BQ ½AB=(s*v) (½r*u)-(BC/4)=>BC=(4/5*s*v) (2/5*r*u)
Sijoitetaan tämä AB:n lausekkeesee,n ja tulee: AB=(4/5*r*u)-(2/5*s*v) , joten
AB=(4/5*AP)-(2/5*BQ). Tuosta näkee, että P jakaa AP:n suhteessa 4:1
Eikä olisi edes tarvittu muuta kuin:
AB=AP-½BC
BC=BQ ½AB=>BC=4/5BQ 2/5AP, ja sijoitus=>AB=4/5AP-2/5BQ
Merkitään AB=a ja AD=b
AP=AB BP=a ½b ja AR=x*AP=x*(a ½b)
BQ=BC CQ=b-½a ja BR=y*BQ=y*(b-½a)
AR=AB BR
x*(a ½b)=a y*(b-½a)
(x-1 ½y)*a (½x-y)*b=0
Ratkaistaan seuraavasta yhtälöparista muuttuja x:
x-1 ½y=0 ja ½x-y=0 y=½x
x-1 x/4=0 x=4/5
Tuon perusteella saadaan sitten kysytty suhde.
Vastaus: AR:RP=4:1
Tämä tehtävä onkin sitten vaikeampi.
Kolmion ABC sivun AB keskipiste = R, sivun BC keskipiste =Q ja sivun AC keskipiste =P.
Janojen AQ, BP ja CR yhteinen leikkauspiste on S.
Missä suhteessa S jakaa nämä janat ?
Merkitään AB=a ja AC=b
AQ=AC CQ=b ½a-½b=½a ½b (CQ=½CB) ja AS=x*AQ=x*(½a ½b)
BP=-a ½b ja BS=y*BP=y*(-a ½b)
AS=AB BS
x*(½a ½b)=a y*(-a ½b)
(½x-1 y)*a (½x-½y)*b=0
Komponenttien yksikäsitteisyyden takia tulee olla:
½x-1 y=0 ja ½x-½y=0 x=y
Tämän yhtälöparin ratkaisu on x=2/3 ja y=2/3
(Sitten vielä pieni sepustus, miksi tämä pätee myös kolmanteen janaan.)
Vastaus: Piste S jakaa kaikki janat suhtessa 2:1.
Tulipas se äkkiä, minä itse vuntsasin tätä omaa ratkaisuani monta tuntia.
Tämä taitaa olla lisäksi geometrinen lause, jota pidetään yleisesti oppikirjoissa totena ja todistettuna.
AC=AB BC
BC=AC-AB
AB=AQ-½BC
AB=AQ ½AB-½AC=>½AB=AQ-½AC, sijoitetaan lausekkeeseen AC=½AB-CR ,tulee
AC=(2/3AQ)-(2/3CR)
AB=AC-BC
AC=½AB-CR
BC=BP ½AC, näistä tulee:
BC=(2/3BP)-(2/3CR)
AB=AC-BC=(2/3AQ)-(2/3CR)-(2/3BP) (2/3CR)=(2/3AQ)-(2/3BP)
Janat jakautuvat kaikki 2:1
http://www2.hs.fi/extrat/kotimaa/yo11syksy/2809/MATEMATIIKKA_pitka.pdf
Viimeinen tehtävä aikalailla sama kuin tämäkin ,tai olisi helposti (vitsi) ratkaistavissa tällä periaatteella, niitä sepustuksia tosin vaaditaan joka kohtaan
Lasketaan suuntajanoja yhteen
a)
FG=-½AP AB ½BP
FG=½AP-½BP
Näistä seuraa: FG=-FG AB=>FG=AB/2
b)
EP=-½AC AD
AC=AB BC
Näistä seuraa: EP=-½AB-½BC AD=-½AB-½BC AB ½BC=½AB
Todetaan, että FG=EP . Tämäkin jo kuvan kanssa riittää todistamaan kuvion suunnikkaaksi, mutta
Lasketaan vielä EF ja DG
EF=-½AC ½AP ja DG=-½BC ½BP. Jos kuvio on suunnikas, niin EF=DG, eli -AC AP=-BC BP=>
AP-BP=-(BC-AC). Myöskin on AC-BC=AB, josta -(BC-AC)=AB.
Yhdistämällä tulee: AB=AP-BP, ja tämähän on kuvion perusteella fakta, joten EF=DG ja kuvio ON suunnikas, ( koska ei se myöskään neliö ole, sillä ½AB ei ole ½BP-½BC).
c)
AB=AC CB=>CB=AB-AC
AC=AD-½CB
AC=AD ½AC-½AB=>½AC=AD-½AB ja sijoitetaan tämä lausekkeeseen: AB=½AC-BE, ja tulee
AB=(2/3AD)-(2/3BE). Piste P oli AD:n ja BE:n leikkauspiste, joten P jakaa AD:n suhteessa 2:1, eli PD=1/3AD.
e)
Piirretään se kolmas keskijana CG
AB=-BC AC
BC=-CG-½AB=-CG ½BC-½AC=>½AC=-CG-½BC. Sijoitetaan tämä lausekkeeseen: BE ½AC=BC
BE-CG-½BC=BC=>3/2BC=BE-CG=>BC=(2/3BE)-(2/3CG)=>CB=(2/3CG)-(2/3BE)
Ennestään tiedettiin: AB=(2/3AD)-(2/3BE), joten AD ja CG kulkevat molemmat pisteen P kautta, koska jälkimmäinen termi on sama. Siis kaikki kolme keskijanaa leikkaavat pisteessä P.
Vielä saadaan : AB BC=AC=>AC=2/3AD-2/3BE 2/3BE-2/3CG=2/3AD-2/3CG
Näiden tulosten perusteella väite on todistettu