Eli jos olisi neuvoja, vinkkejä tai ohjeita tarjolla, tarvitsisin apua seuraavaan tehtävään.
Todista, että lausekkeen (a c)/(b c) arvo on lukujen 1 ja a/b välillä, jos a, b ja c ovat positiivisia lukuja.
Todista, että lausekkeen (a c)/(b c) arvo on lukujen 1 ja a/b välillä, jos a, b ja c ovat positiivisia lukuja.
Vastaukset 6
Vanhimmat
Todista ensin, että b < a.
Oletetaan, että a > b > 0, tälläöin 1 < a/b. Oletetaan lisäksi, että c > 0.
1. On selvää, että 1 < (a c)/(b c) .
Siis riittää osoittaa, että a/b > (a c)/(b c)
Olkoon k1 sellainen reaaliluku (selvästi positiivinen), että
k1*b = b c siis k1 = 1 c/b
vastaavasti k2 = 1 c/a, ja koska a>b, niin k2 < k1
a/b = (k1*a)/(k1*b) > (k2*a)/(k1*b) = (a c)/(b c)
ja sitten muut tapaukset
Ööö. Et voi mitenkään tehdä oletusta a>b, koska tuohon ei ole mitään perusteita. Aivan yhtälailla voi olla a
Hupsis jäi hieman kesken. Niin siis onhan se välttämättöntä ratkaisun kannalta, että käy läpi kaikki mahdollisuudet ab ja a=b.
Käsitellään tuota lauseketta c:n funktiona: f(c)=(a c)/(b c). Funktio on jatkuva , koska a, b ja c ovat kaikki positiivisia. Funktio voidaan muuttaa jakamalla a:lla muotoon:
F(c)=(1 (c/a))/((b/a) (c/a)), ja nyt kun c=>0, niin funktio lähenee a/b.
Funktio voidaan muuttaa myös jakamalla c:llä muotoon:
F(c)=((a/c) 1)/((b/c) 1), ja nyt kun c=>ääretön, niin funktio lähenee 1.
Jatkuvan funktion väliarvolauseen perusteella funktion ,eli kysytyn lausekkeen, arvo muilla c:n arvoilla on noiden arvojen välissä.
Väliarvolauseen perusteella et voi esittää että funktion arvo muilla c:n arvoilla pysyy noiden kysyttyjen arvojen välissä, vaikkakin se varmuudella ainakin kerran saa minkä tahansa arvon päätepisteiden välistä. Täytyy osoittaa funktion monotonisuus. Tehtävästä ei käy ilmi että tarkoitetaanko kysytyllä välillä avointa vai suljettua väliä, mutta jos a=b niin itse asiassa f(c) = 1.