Heippa,
Osaisko joku antaa neuvoa, miten lasketaan seuraavanlainen tehtävä:
E (v) = mc^2 / √(1-v^2/c^2) missä siis m on kappaleen massa ja c valon nopeus.
Miten lasken energian Taylorin sarjan toiseen kertalukuun (v^2) pisteen v0 = 0 ympärillä? Kiitos ja kumarrus :)
Osaisko joku antaa neuvoa, miten lasketaan seuraavanlainen tehtävä:
E (v) = mc^2 / √(1-v^2/c^2) missä siis m on kappaleen massa ja c valon nopeus.
Miten lasken energian Taylorin sarjan toiseen kertalukuun (v^2) pisteen v0 = 0 ympärillä? Kiitos ja kumarrus :)
Vastaukset 3
Vanhimmat
Ihan samalla tavalla kuin muutenkin.
Eli v = muuttuja ja teet sarjakehitelmän? Derivointi yhden muuttujan suhteen onnistunee?
Katso: http://mathworld.wolfram.com/MaclaurinSeries.html
Joo, arvelinkin että tuota kautta... Mutta en osaa derivoida tuota √(1-v^2/c^2) ?? Mikä on sen ensimmäinen ja mikä toinen derivaatta?
Apua voisi löytyä esimerkiksi täältä:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=1/(1-x^2)^(1/2)
Sinne voi kirjoittaa minkä tahansa funktion lausekkeena, jolloin ohjelma muun muassa tulostaa kyseisen funktion kuvaajan ja ilmoittaa myös sen derivaatan.
Neliöjuuri √(1-v^2/c^2) voidaan esittää myös muodossa (1 - v²/c²) ^ (1/2), jolloin se voidaan derivoida samaan tapaan kuin sellaisetkin potenssifunktiot, joissa eksponentti on kokonaisluku. Siis:
D x^n = n x^(n-1).
Funktion E (v) = mc² / √(1-v²/c²)
ensimmäinen derivaatta on
E'(v) = mv (1-v ²/c ²) ^(-3/2)
josta toinen derivaatta voidaan johtaa hieman vaivalloisemmin:
E''(v) = ((mc² 2mv²)/c²) (1-v²/c²)^(-5/2).
Taylorin sarjahan alkaa:
f (x) = f(0) f'(0) x f''(0) x² / 2! f'''(0)x³ / 3! ...
Tässä tapauksessa nollassa tuo ensimmäinen derivaatta saa arvon 0 ja toinen derivaatta f'(0) arvon m. Ja itse funktio saa arvon mc², kun v = 0.
Niinpä tämän funktion Taylorin sarja alkaa:
E(v) = mc² 0 mv²/2 ...
Eli ensimmäinen termi osoittaa kappaleen suhteellisuusteorian mukaisen lepoenergian, toinen termi on nolla ja kolmas on sama kuin jo klassisesta fysiikasta tuttu liike-energian lauseke. Seuraavissa termeissä on v:n tai oikeastaan v/c:n yhä korkeampia potensseja, mutta ne ovat hyvin pieniä, ellei v ole lähellä valonnopeutta c.