josta voitas yhessä spekuloida täällä :). Olispahan ajanvietettä.
Ei haittaa vaikka olis loogis-filosofinenkin. Kunhan ei hirveän kantaaottava.
Ei haittaa vaikka olis loogis-filosofinenkin. Kunhan ei hirveän kantaaottava.
Keksikää hyvä ongelma
Hmm...
333259
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 33
Vanhimmat
Tämä nyt ei ole varsinaisesti mikään spekuloitava ongelma vaan pieni pähkinä purtavaksi tekemisen puutteeseen. Törmäsin tähän hiljattain erästä kirjaa lukiessani.
"Matti on päässyt arpajaiskilpailun finaaliin. Hänellä on edessään kolme laatikkoa, joissa yhdessä on palkinto ja kaksi muuta ovat tyjiä. Hän valitsee yhden, mutta ei vielä avaa sitä. Samaan aikaan juontaja paljastaa kahdesta jäljelle jääneestä laatikosta toisen ja se on tyhjä" Kysymys kuuluu: kannattaako Matin vaihtaa jo valittu laatikko siihen toiseen, jota juontaja ei paljastanut? Äkkiä tulee mieleen, että aivan sama..todennäköisyydet ovat yhtä suuria. Ehkei kaikki kuitenkaan ole sitä miltä näyttää =)
Hmm... Ihan totta.
Jos Matti valitsee ensimmäisellä kerralla OIKEAN laatikon (1/3 todennäköisyys), hänen ei kannata vaihtaa laatikkoa, koska vaihtaa väärään.
Jos Matti valitsee ensimmäisellä kerralla VÄÄRÄN laatikon (2/3 todennäköisyys), hänen kannattaa vaihtaa laatikkoa, koska jäljelle jäävä laatikko on oikea.
Eli kannattaa vaihtaa toisella valinnalla, koska tuolloin osumistodennäköisyys on 2/3.
Aika hauska pähkinä - kannattaa siis ensimmäisellä kerralla olla huono tuuri, että osuu oikeaan. :)
Niin ja jos valitsee toisella kerralla saman, kuin ensimmäisellä, on osumistodennäköisyys tietenkin se 1/3, koska niin suuri todennäköisyys oli ensimmäisellä kerralla valita juuri se oikea.
Täsmäähän?
Tällaisia lisää!!!
Joskus tämän tyyppisiin tehtäviin auttaa "järjetön kärjistäminen". Voidaan esimerkiksi kuvitella että laatikoita oli alunperin 1000 000 kappaletta ja vain yhdessä palkinto. Jos valitset yhden ja juontaja sen jälkeen paljastaa 999 998 tyhjää niin tottahan toki sinun kannattaa vaihtaa. Mutta tuo sun perustelu oli kyllä hyvä...oikea vastaus
onko otettu huomioon arpajaisten järjestäjän osuus laatikon valintaan tilastoon nähden? hänhän valitsi yhden laatikon!!! eli matin valintan suhteutettuna järjestäjän mahdollisuus valita oikea laatikko mitätöityi, jos matti "varasi" oikeaa laatikkoa. näin ollen matin kannattaisi pitää valintansa, koska järjestäjä missasi mahdollisuuden fifti fifti,
Seuraava tehtävä on mielenkiintoinen ja hieman edellistä kinkkisempi. Törmäsin siihen aikanaan lukion matematiikkakilpailussa.
" Meillä on kaksi kulhoa. Ensimmäisessä kulhossa on sitruunamehua ja toisessa appelsiinimehua. Otamme kauhallisen sitruunamehua ja sekoitamme sen appelsiinimehuun. Tämän jälkeen otamme appelsiinimehua (jossa on siis seassa sitruunamehua) yhtä suuren kauhallisen ja laitamme sen sitruunamehun joukkoon. Molemmissa kulhoissa on nyt yhtä paljon nestettä" Kysymys kuuluu: onko ensimmäisessä kulhossa enemmän appelsiinia kuin toisessa sitruunaa? Kummassakin kulhossa on siis "pieni" määrä myös toista hedelmää, mutta kummassa on enemmän...
Homma selkeytyy kun hieman piirtelee tilannetta paperille. Vastaus ei ole mitenkään ilmeinen vaan aika yllättävä...
Kauhan ja kulhon tilavuuksilla ei tietenkään ole mitään väliä.
Että paljonko kaltsupullossa pitää olla olutta jäljellä, jotta se olisi mahdollisimman stabiili siinä baarin pöydällä.
Tai kuinka pitkälle pöydän reunan yli kirjapinon on mahdollista ylettyä.
Tai miksi räntähiutaleet eivät läsähdä enää auton tuulilasiin, kun vauhtia tulee tarpeeksi.
Heitän teille ehkä lisää, jos ratkaisette nämä.
Tuo kirjajuttu oli mielenkiintoinen. Löysin kerran eräästä lähteestä jutun, jossa oli tutkittu vastaavaa asiaa kolikoilla. Siinä tutkittiin, että voiko pinon ylimmäinen kolikko sijaita niin, että se ei ole enää alimman päällä. Taidokkaasti kun asettelee niin jo viides kolikko saadaan sijoitettua kokonaan alimman kolikon ulkopuolelle. Kolmen kolikon verran kasa saadaan kaartumaan 227:llä kolikolla. Kymmenen kolikon poikkeama vaatii jo 485 miljoonaa kolikkoa. Kirjoissahan pätee sama periaate. Kirjapino voi siis ainakin teoriassa ylittää pöydän mielivaltaisen paljon.
Tässä vielä pieni kaavanpoikanen jos joku on kiinnostunut:
Pinottaessa n kappaletta kolikoita(kirjoja) päällekkäin voidaan päällimmäisen kolikon suurin mahdollinen poikkeama d laskea kaavasta
d=[1 1/2 1/3... 1/(n-1)]/2
Eli esimerkiksi n:n arvolla 5 saadaan d:lle 1,04 eli ylin kolikko on 1,04 kolikon verran ulkopuolella.
Mutta tässä täutyy huomata, että pino kasataan "väärinpäin", eli alimmainen kirja, tai kolikko laitetaan siten että ylläolevan pinon painopite tulee alimmaisen reunan kohdalle. Muutoin homma ei onnistu.
Tämä tekee kysymyksestä yllättävän haastavan.
Siis miten niinkuin "väärinpäin" ? Tuossa kertomassani kolikkohommassahan idea on nimenomaan se, että koko kolikkokasan painopiste on alimman kolikon reunan kohdalla.
Lähtekääpä liikkeelle vaikka siten, että appelsiinikulhon tilavuus on L1 ja sitruunakulhon L2 (ja siis L1=L2). Kauhan tilavuus voisi olla vaikka A. Homma ratkeaa ihan perus algebralla. Jos ei vieläkään etene niin olkoon vaikka kulhojen tilavuus 10 litraa ja kauhan puoli litraa (ei tietenkään kaunis ratkaisu, mutta antaa saman lopputuloksen) Jos ette meinaa uskoa silmiänne kun saatte lopputuloksen niin todennäköisesti se on oikea tulos =)
Menee melko vaikeaksi, jos kasaat "alhaalta ylöspäin" (tämä tietysti ajatusmallina, eihän kukaan nyt todellisuudessa ala kirjoja/kolikoita kasata, vai kuinka...?), täytyy koko ajan mennä "kokeilemalla" tai käyttämällä melko lailla aikaa laskiessa systeemin painopistettä, sehän muuttuu koko ajan, kun lisää kasan päälle kappaleen lisää. Mutta jos on jo saanut kirjoja kasaan ja lisää läjän seuraavan päälle, niin luulisi onnistuvan yksinkertaisemmin. (Minä en tietystikään ole tätä kokeillut, mutta törmäsin samaan ongelmaan tätä pähkinää ajatellessani)
No nyt ymmärsin mitä tarkoitit. Periaate on joka tapauksessa sama. Tuossa aiemmassa kolikkoesimerkissä nimenomaan lasketaan painospistettä jatkuvasti.
Tuosta pullotehtävästä. Olisikohan vastaus mahdollisesti 68% pullon tilavuudesta? Eli sellaset 2,2 desiä olutta. Jokin pieni ääni sisällä kertoo että pullon hitausmomentti painopisteen suhteen on suurin silloin kun painopiste on samalla korkeudella kuin nestepinta. Saatan kyllä olla hyvinkin väärässä. Tässä on myös oletettu, että pullo on täysin homogeeninen...pitkulaisen sylinterin muotoinen.
Tuulilasista vielä. Kun nopeus on suuri niin räntähiutale ei "ehdi" läiskäytyä tuulilasiin. Siinä vaiheessa kun kide alkaa murtua niin se on kovan ilmavirran vuoksi jo pyyhkiytynyt pois (johtuen tietysti auton tuulilasin muodosta)
Eli yritin sanoa, että pino on "väärinpäin" siten, että ylimmän kirjan ylitys on 1/2 pieneten alaspäin mentäessä. Toisinpäin ei onnistu, eli "ahneella on paskainen loppu", jon ymmärrät, mitä tarkoitan.
ongelmassa on kiva puoli, nimittäin se, että se toimii myös "diskreetissä" tapauksessa.
Voipii mallata vaikka tulitikuilla :)
1. Mitä painopistettä tarkoitat: pullon, nesteen vai molempien?
Aika korkealla on painopiste, jos 68% bisseä.
2. Eieieieiei
Olin seurannut tota teidän ketjua hetken aikaa ja laskin tässä jotain. Sain tässä kummallisen tuloksen, että niitä olisi yhtä paljon. Voi olla että meni ihan puskiin, muuta kiinnostaa tämä ongelma! Kerro miten se lasku oikeasti tehdään?
Se on aivan oikea tulos. Usko tai älä =) Välillä törmää matemaattisiin kummallisuuksiin ja tämä kuuluu ehdottomasti niihin. Laskutyö on periaatteessa tosi helppo tehdä. Niinkuin aiemmin oli vinkkinä ja jos helpolla haluaa päästä niin sopii vain paperilla sopivat tilavuudet astioille ja kauhalle. Siitä sitten vaan "siirtelee" ja laskee.
Onnistuu tietysti myös tulitikuilla (voidaanhan vaikka kuvitella että yksi tikku on yksi litra) Ongelmaksi muodostuu vain se, että kun tehdään toinen "kauhansiirto" niin pitää alkaa viivoittimen kanssa mittailemaan paljonko halkaisee tikusta, joka edustaa pienempää mehumäärää. Ellei sitten löydä sellaista kokonaislukua tikkujen määräksi, että myös siirrot onnistuvat kokonaisilla tikuilla.
Noista sun vinkeistä sain vasta jotain tehtyä. Eli piti olla periaatteessa lukuja ennen kuin sai pääteltyä ja laskettua. Käytin tosin 10L saaveja ja litran lekaa koska 0,5L tuntui huonolta :) Tosi kumma juttu että se olikin yhtä paljon.
Jos ongelmaa alkaa pähkäilemään ilman laskemista niin siinä helposti sanoo että sitä toista onkin enemmän. Lisää näitä!
Tulipa ajattelematon virhe. Eihän painopiste voi tietenkään olla samalla korkeudella kuin nestepinta jos se on niinkin korkealla kuin 68% kokonaiskorkeudesta. Korjattu lasku antaa että bisseä pitää olla 6,4% pullon tilavuudesta. Tämä taas tuntuu liian pieneltä. Ehkä tuo mun ehto että "painopisteen oltava samalla korkeudella kuin nestepinta" on väärä. Kiinnostaa kyllä kovasti se oikea tulos..
Kolikoista vielä..
Kolikkokasa noudattaa nimenomaan sitä periaatetta että alhaalta lähdetään "rauhallisesti" ja ylhäällä tapahtuu suuret poikkeamat. Niinkuin itsekin mainitsit niin toisinpäin ei onnistu. Eli jos halutaan tehdä vaikka viiden kolikon poikkeama ylimmälle kolikolle niin suunnilleen puolet kasan alimmista kolikoista eivät poikkea toisistaan käytännössä yhtään.
Jos vaikka toiseen astiaan laitetaan sitruunaa (tikku oikeinpäin) ja toiseen appelsiinia (tikku väärinpäin).
Sovitaan, että kauhaan mahtuu tikkuja jokin kokonaisluku :), esim. 5.
Siirää toisesta kupista 5 tikkua toiseen. Sekoita. Tee sama toisinpäin.
Tikku voi mallata myös esim. molekyyliä :)
Kyllähän se toimii..tai ainakin luulis. Mutta ongelmaksi muodostuu taas se, että on vaikea löytää sellaista kokonaislukua ettei tarvitsisi katkaista tikkuja. Esimerkki varmasti valaisee tilannetta:
Molemmissa astioissa 100 tikkua. Olkoon sitruuna sininen tikku ja appelsiini punainen. Kauha olkoon 5 tikkua.
1. Siirretään kauhallinen sitruunaa, eli 5 sinistä tikkua punaisten sekaan. Siellä on nyt 105 tikkua.
2. Otetaan viisi tikkua appelsiinikiposta. Nyt tämän viiden tikun joukossa pitää olla suhteellisesti sama määrä sitruunaa, eli sinisiä tikkuja kuin niitä on appelsiinikipossa (tehtävähän edellytti täydellistä sekoittamista siirron jälkeen). Eli toisessa siirrossa pitää olla 100/105 osuus punaisia ja 5/105 osuus sinisiä. Itse en ainakaan näin äkkisiltään löydä sellaista tulitikkumäärää kippojen ja kauhan tilavuudeksi että voitaisiin koko ajan pelata kokonaisilla tikuilla.
Ymmärrän, mutta tässä tehtävässä on sellainen hauska piirre, että sekoitussuhteella ei ole mitään väliä!
Oikein, eli sekoitussuhteella ei tosiaan ole väliä. Helpoin ratkaisu tämän perusteella saadaan siten että kauhan tilavuus on sama kuin astian. Eli siirretään kaikki neste toisesta toiseen ja päinvastoin. Tällöin tämä onnistuu mainiosti myös tikuilla.
..jo muuten kertoa täydelliset ratkaisut noihin omiin pähkinöihisi?
Ei siinä ole mitään hohtoa :)
Pullohomma sulla oli jo oikeaan suuntaan menossa.
Tuo sekoitussuhd oli ehkä väärä sana, mutta siis idea on, että satunnaisotannalla päästään samaan lopputulokseen diskreetissä tapauksessa, ELI SOOSIA EI TARVITSE SEKOITTAA KUNNOLLA. Sorry tuo capslock, vahinko.
Tuli kaksi sekuntia sitten mieleen että hittoako ratkon jotain hitausmomentteja lauantai-iltana =) Mutta minkäs sitä voi tälle uteliaalle luonteelle. Tein hetki sitten käytännön testiä tolla pullopähkinällä. Toi stabiilisuusero taitaa olla aika marginaalista bissepullossa, samalla tavalla se tossa pöydällä pystyssä pysyy kun sitä renkuttelen =)
Mutta asiaan. Sain tehtyä kaavan, joka antaa hitausmomentin oluen nestepinnan korkeuden funktiona. Kaavasta tuli kuitenkin niin patologinen että muuttujien erottelu ei onnistu (eikä näin ollen derivointi, jonka avulla se suurin arvo olisi saatu) Jatkan taistelua vaikken uskokaan ratkaisun olevan näin monimutkainen..
Kolikoista tulitikuista. Satunnaisotanta tottakai onnistuu. Olisi kiinnostavaa nähdä sun esimerkki tosta ratkaisusta tulitikkujen avulla. Siis määrät ja siirrot...
Tulipahan sitten pähkäilytä ihan kunnolla. Eli stabiilisuutta voi tässä tilanteessa olla kahdenlaista. Ensimmäinen on se, että miten helposti pullon ylempi puoli lähtee liikkeeseen. Stabiilein se on silloin kun pullo on täynnä. Toinen on se, että miten paljon kallistusta pullo sietää. Eniten se kestää silloin kun painopiste on mahdollisimman alhaalla. Se on alimpana silloin kun nesteen pinnankorkeus ja painopiste ovat samalla korkeudella (niinkuin tuli jo aiemminkin "arvattua") Eli ellei laskuvirhettä ole tullut niin eniten kallistusta pullo sietää kun bisseä on se 6% ja rapiat..siis se edellinen tulos.
10 sitruunaa, 10 appelsiinia
Tilanne: 10 , 10
5 (kauhalinen) sitruunaa appelsiinisankoon
Tilanne: 5 , 10 5
Kauhallinen takaisin (sattukoon siihen vaikka 2 sitruunaa ja 3 appelsiinia)
Tilanne: 7 3, 7 3
Ts. aivan sama mitä kauhaan sattuu, niin tilanne on aina tasan.
Eli tarkoittanet koko systeemin painopistettä.
Mutta taas tuo 6% ihmetyttää.
Olkoon litran vetoinen, metrin korkuinen lieriöpullo, jonka paino 200g.
Pullon painopiste korkeudella 50cm.
pannaan pulloon 2dl olutta.
oluen painopiste korkeudella 10cm.
systeemin painopiste korkeudella 30cm.
oluen pinnankorkeus 20 cm.
Eli 20% ei vielä riitä, vaan prosentti menee jonnekin 26:een, tässä tapauksessa.
Tietty tilanne muuttuu pullon muodon mukaan, mutta pitäisi pysytellä suunilleen samoissa lukemissa.
Yhtä paljon on kummassakin kumpaakin. Tarvii piirtää edes paperilla.
Tuota nuin, jos korvataan ne teitin mehut vaikkapa vedellä ja alkoholilla niin ymmärtää paremmin.
Eli on 1 litraa 100% alkoholia ja 1 litraa vettä.
ensin otetaan puolen litran kauhalla vesikiposta ja pistetään se alkoholin sekaan.
saadaan 1.5 litraa 67% alkoholivesiseosta ja 0.5 litraa vettä, eikö?
sitte otetaan tosta 67% alk.vesiseoksesta ja pistetään se vesikippoon.
saadaan 1 litra 67% alk.vesiseosta ja 1 litra 33% alk.vesiseosta, teitin teoriassa on vielä hiottavaa???
http://www.nakokulma.net/keskustelu/index.php?board=3;action=display;threadid=1227;start=340