Mitenköhän ratkaistaan ja mitä pitäis tulla tulokseksi?
Ratkaise differentiaaliyhtälö: y0 = y/x x/(2y)
Vihje: kyseess¨a on ep¨alineaarinen yht¨al¨o, joille ei ole yleist¨a ratkaisukeinoa.
Usein niiss¨a p¨a¨ast¨a¨an kuitenkin eteenp¨ain sopivalla sijoituksella: vaihdetaan y
uudeksi funktioksi z = f(x, y) ja ratkaisemalla z. Yrit¨a t¨ass¨a sijoitusta z =
y/x. Huomaa ett¨a lopuksi t¨aytyy sijoittaa takaisin y.
Ratkaise differentiaaliyhtälö: y0 = y/x x/(2y)
Vihje: kyseess¨a on ep¨alineaarinen yht¨al¨o, joille ei ole yleist¨a ratkaisukeinoa.
Usein niiss¨a p¨a¨ast¨a¨an kuitenkin eteenp¨ain sopivalla sijoituksella: vaihdetaan y
uudeksi funktioksi z = f(x, y) ja ratkaisemalla z. Yrit¨a t¨ass¨a sijoitusta z =
y/x. Huomaa ett¨a lopuksi t¨aytyy sijoittaa takaisin y.
Vastaukset 8
Vanhimmat
Tulokseksi on tullut yleinen sekavuustila. Mitähän on otettu?
Teet sen sijoituksen ja sen jälkeen separoit. Olettaen, että y0 pitäisi olla y', tulee kai jotain tyyliin y(x) = x (ln x C)^(1/2), jossa C on vakio.
Se sijoitus on paremminkin y=xz, jolloin y'=z z'x, ja sijoittamalla nuo:
z z'x=z (1/(2z)), eli dz/dx*x=1/(2z)=>2z*dz=dx/x. Integroimalla tulee: z^2=lnx C,
joten z= -sqrt(lnx C).
y= -x*sqrt(lnx C)
( Tässä tiedettiin tuo sijoitus, mutta jos ei olisi tiedetty, olisin tehnyt näin:
y=uv, ja y'=u'v v'u. Sijoittamalla: u'v v'u=uv/x (x/(2uv))
v'u-(uv/x) u'v-(x/(2uv))=0
u(v'-(v/x)) u'v-(x/(2uv))=0. Tuo toteutuu jos v'-(v/x)=0, ja u'v-(x/(2uv))=0
Ensimmäisestä tulee: dv/dx=v/x=>v=x (mikä tässä annettiin). Se kun sijoitetaan jälkimmäiseen:
u'x-(1/(2u))=0=>du/dx*x=1/(2u)=>2u*du=dx/x, ja integroimalla: u^2=lnx C, joten
u= -sqrt(lnx C) ja y=uv= -x*sqrt(lnx C) )
Mathematica antaa vastaukseksi y[x] -> E^(x^2/4) x C[1]. Itse laskemalla sain saman sqrt-hässäkän kuin edellinenkin. Mikähän on oikein?
komento takaisin. kyllä 06.20 jätetty vastaus on oikein
Pitäisiköhän tuossa olla vielä itseisarvomerkit mukana...
y = ± x√( ln IxI C )
Minä tuon tänne tasan vuosi sitten kirjoitin, ja tulihan siihen kommenttejakin ennen 1-vuotispäivää, mutta asiaan.
Minä jätän aina nuo itsisarvomerkit pois, ja jätän ne lukijan matemaattisen yleissivistyksen varaan, eli on ne siinä, vaikkei ole merkitty.
Toinen asia on sitten se, että ovatko ne negatiivisilla x:n arvoilla saadut y:n arvot oikeita, siis tehtävän kannalta. Nollallahan (x=0) tehtävää ei ole edes määriteltykään, joten se nyt ainakin on jätettävä määrittelyjoukosta pois, saattaa olla, että myöskin x:n negatiiviset arvot, Bernoulli -nimi ainakin antaisi aiheen niin olettaa...
"Minä jätän aina nuo itsisarvomerkit pois, ja jätän ne lukijan matemaattisen yleissivistyksen varaan, eli on ne siinä, vaikkei ole merkitty"
Ok. En halunnut millään muotoa ilkeyttäni ottaa tuota asiaa esille. Näkemissäni esimerkeissä itseisarvomerkit vain on taidettu aina laittaa mukaan tuollaisissa tehtävissä.