Miten osoitetaan että joukko B=A\{a} on ääretön kun A on äärentön ja a kuuluu A.
Pitäisi lähteä sellaisesta äärettömän määritelmästä, että
Joukko on ääretön, jos se ei ole yhtä mahtava minkään aidon osajoukkonsa kanssa.
Vai pitääkö tässä käyttää, että Jos X on äärellinen, niin X U {x} on äärellinen
ja vastaoletus. Onko keinoa osoittaa ilman vastaoletusta?
Pitäisi lähteä sellaisesta äärettömän määritelmästä, että
Joukko on ääretön, jos se ei ole yhtä mahtava minkään aidon osajoukkonsa kanssa.
Vai pitääkö tässä käyttää, että Jos X on äärellinen, niin X U {x} on äärellinen
ja vastaoletus. Onko keinoa osoittaa ilman vastaoletusta?
Vastaukset 7
Vanhimmat
Mitä ihmettä? Jos A = {1, 2}, niin aidot osajoukot ovat {1}, {2} ja { }.
Kaikkien näiden mahtavuus on eri kuin joukon A. Onko A ääretön?!
Näin äkkiseltään sanoisin, että outo määritelmä, mutta sori vaan jos olen väärässä.
Ei tietenkään ole A ääretön, koska se ei ole yhtä mahtava noiden aitojen
osajoukkojensa kanssa. Eli joukko olisi ääretön jos löytyy yksikin aito osajoukko
joka on yhtä mahtava alkuperäisen joukon kanssa.
Yksinkertaisimmillaan tämä tarkoittaa sitä, että A ja B=A\{a} olisivat yhtä mahtavat.
Eli olisi riittävä ehto tutkia äärettömyyttä jos A ja B ovat yhtä mahtavat.
Jos äärellisesta joukosta ottaa yhdenkin pois niin osajoukko ei ole yhtä mahtava
alkuperäisen kanssa. Äärettömillä tämä ei pidä paikkansa esim. Jos luonnollisista luvuista ottaa kaikki parittomat pois (jäljelle jää parilliset) niin parilliset ovat yhtä mahtavat alkuperäisen joukon kanssa.
Joukkoa ei voi määritellä yksinkertaisesti alkioiden kokoelmaksi.
http://fi.wikipedia.org/wiki/Russellin_paradoksi
Joukko on nimenomaan alkioiden kokoelma. Mutta onko olemassa kaikkien alkioiden kokoelmaa. Joukko-opin aksioomat kieltävät tällaisen megajoukon
olemassaolon, joten russelin paradoksilla ei ole merkitystä.
Tässä ongelmassani ei käsitellä tätä. Vaan kun A on laillinen joukko, miten osoitetaan sen äärettömyys ilman vasta-oletusta.
Valinta-aksiomalla Zermelon hyvinjärjestyksen lauseen muodossa tuo ainakin onnistuu luontevasti. On olemassa bijektio f joukon A ja jonkin äärettömän kardinaalin alfa välillä. Edelleen on alfan osajoukko, joka on yhtämahtava alfan kanssa. Yksityikohtia en näillä fonteilla sen kummemin rupea esittelemään.
Menee monella tavalla, esim. näin
Otetaan aito A:n osajoukko A', joka on yhtä mahtava A:n kanssa. Tietysti A' voidaan valita niin, että a ei ole siinä. Silloin
A' < A \ {a} < A
ja ns. Cantorin-Scröderin-Bernsteinin (ks. Mathworld, Wikipedia tai googlaa) teoreema antaa loput.
Tässä jokin haiskahtaa...
A' ja A \ {a} eivät ole yhtä mahtavia. Kuitenkin kirjoitat "A:n osajoukko A', joka on yhtä mahtava A:n kanssa"- tämä on ristiriita.
Valitan.