Satunnaislukugeneraattori antaa kolmidesimaalisia lukuja väliltä [0,1). Jos painelen RND-nappia ja lasken saatuja lukuja yhteen, niin kuinka monta painallusta todennäköisimmin tarvitaan summan 2 saavuttamiseksi. Jos siis X on tarvittavien painallusten lkm, niin mikä on odotusarvo E(X)? Entä yleisesti todennäköisyys saada summaksi 2 painamalla nappia k kertaa. P(X=k)?
k voi siis saada arvot 3, 4, 5, ..., ääretön.
k voi siis saada arvot 3, 4, 5, ..., ääretön.
Vastaukset 13
Vanhimmat
Odotusarvo sille, että joku muu tekee kotitehtäväsi on aika lähelle 0.
Kuka sano että tää on joku kotitehtävä? Ihan muuten vaan kyselen, mutta osaamista ei näytä olevan täällä, siinä olet ihan oikeassa :)
Tehtävää ei voi annetuilla tiedoilla ratkaista. Olennaista on tuntea satunnaislukugeneraattorin antaman jakauman muoto. Luultavasti tehtävässäsi se oletetaan tasaiseksi.
Juu tasajakauma kyseessä. Eli nyt siis joku vois ratkaista sen :) Hieman helpotettu versio ois vaikka nopanheitto, jossa summaksi halutaan vaikka 12. Siinä ei ole ihan niin paljo hommaa, jos käy kaikki vaihtoehdot yksitellen läpi. Ja tää tehtävä on ihan mun oman pään uumenista repäisty!
Tuolla on laskettu jatkuville tasajakautuneille muuttujille vastaavia odotusarvoja:
http://mathworld.wolfram.com/UniformSumDistribution.html
Sama voidaan tehdä diskreeteillä arvoilla 0.000,0.001,....,0.999 jolloin pitääkin kaavan (2) sijaan kertoa auki todennäköisyydet generoivan polynomin n:s potenssi ja kerätä sen kertoimia. Kertoimien summista saadaan sitten todennäköisyyksiä, että n:llä arvolla tietty raja ylittyy. Ja niistä voi sitten laskea odotusarvon. Aikamoinen homma.
Noin esitettynä laskelma on kohtuuttoman työläs (ellei matemaatikoilta löydy valmiita kaavoja tuollaisen laskemiseen). Helpompi versio olisi, kuinka monen painalluksen summajakaumalla on suurin arvo kohdassa 2, jos oletetaan jatkuva tasainen satunnaislukujakauma kyseisellä välillä. Silloin selvittäisiin integroinneilla ja luulen että vastaus on 4 (mikä on ilmeisesti myös oikea vastaus 1. kysymykseesi).
Totta tosiaan, koska yhden painalluksen odotusarvo on 0,500, niin 2,000 saadaan hyvin todennäköisesti 4:llä painalluksella, mielenkiintoista ja melkeinpä liian helppoa ollakseen totta. Kiitos paljon vinkistä!
Probleema on hankala. Ekvivalentti probleema on valita satunnaisia kolminumeroisia lukuja siten, että niiden summa on 2000.
Otetaan esimerkiksi kolme lukua. Mahdollisuuksia niiden valintaan on 10^9, joilloin otetaan huomioon kaikki 3! tapaa järjestää luvut. Nyt pitäisi vain laskea monellako tavalla 2000 voidaan esittää kolmen luvun summana, kun luvut ovat välillä 0,...,999. Tämä muistuttaa tunnettua partitioprobleemaa, jossa on määrättävä monellako tavalla annettu luonnollinen luku voidaan esittää luonnollisten lukujen summana. Ehkä jostakin partitioteorian syvyyksistä voisi löytää valmiin ratkaisun tapaukselle, missä yhteenlaskettavat ovat suuruudeltaan rajoitettuja.
Yritetään nyt kuitenkin ratkaista tehtävää, kun k = 3.
Olkoon ensimmäinen luku n. Olkoon M(n) mahdollisuuksien lukumäärä, kun ensimmäinen luvuista on n ja seuraavat kaksi ovat välillä 0,...,999.
M(0) = 0
M(1) = 0
M(n) (n = 2,...,999)
Monellako tavalla voidaan luku 2000 - n esittää kahden luvun r ja s summana?
Silloin r = 2000 - n - s, ja
0
Njaahas... Melko pieni tuo todennäköisyys minusta on. Mietitäänpä, että jos valitaan kolme lukua > 700, niin saadaan summaksi väh. 2100. Ja tämän tuloksen todennäköisyys satunnaisella valinnalla on noin 1/3 * 1/3 * 1/3 = 1/27 = 0.037..., eikö totta?
Määräsin todenäköisyyden myös Monte Carlolla. Muodostin 100000000 kokonaislukukolmikkoa väliltä [0,999]. Näistä kolmikoista, joden summa oli 2000 laskin todennäköisyyden tälle tapahtumalle. Kahdella eri satunnaislukugeneraattorin (.dotnet.Random) siemenluvulla sain todennäköisyyksiksi
0.00049767 ja 0.00049987, joten johdettu lauseke on ehkä oikein.
Enpä tiedä. Arvelisin että mainitsemallasisi lukuvälillä jotain kolmesta äärettömään.
Mulla menee aina iso pieni äärettömyys sekasin, niillä kun on ihan sama merkki. Se persepystyssä makaava kolmonen vai mikä se oli?
No perseestä en tiedä mutta kylellään oleva kasi se minusta on :)