Olen miettinyt tätä asiaa nyt pari iltaa, yksi matikan proffa ei osannut ratkaista ja toinen muuten vaan matikan tohtori ei myöskään. Tein simulaation ja sain tuloksen (10 miljoonalla tapauksella) mutta en osaa ratkaista tätä analyyttisesti.
Olkoon kolmen väriä, sanotaan sininen (S), punainen (P), musta (M).
Otetaan satunnainen neljän värin joukko, alkioista jokainen kuuluu em. värijoukkoon. Esimerkiksi S P P M.
Valitaan seuraavaksi kahden värin joukko noista annetusta kolmesta. Jos näistä kahdesta väristä _kumpikin_ esiintyy aiemmin valitussa neljän värin joukossa, niin "voittaa" pelin. Esimerkiksi, SP, PS ja PP antaisivat "voiton", mutta MM tai SS eivät.
Mikä on voiton todennäköisyys?
Olkoon kolmen väriä, sanotaan sininen (S), punainen (P), musta (M).
Otetaan satunnainen neljän värin joukko, alkioista jokainen kuuluu em. värijoukkoon. Esimerkiksi S P P M.
Valitaan seuraavaksi kahden värin joukko noista annetusta kolmesta. Jos näistä kahdesta väristä _kumpikin_ esiintyy aiemmin valitussa neljän värin joukossa, niin "voittaa" pelin. Esimerkiksi, SP, PS ja PP antaisivat "voiton", mutta MM tai SS eivät.
Mikä on voiton todennäköisyys?
Vastaukset 5
Vanhimmat
Oletamme, että värin valintatodennäköisyys on aina 1/3, riippumatta aiemmista välinnoista. Tällöin ensimmäinen neljän värin valinta voi tuottaa:
1, Kaikki 4 samaa väriä, tn 1/27
2. Yhtä väriä 3 kpl ja toista väriä 1 kpl, tn 8/27
3. Yhtä väriä 2 kpl ja toista väriä 2 kpl, tn 6/27
4. Yhtä väriä 2 kpl, toista 1 kpl ja kolmatta 1 kpl, tn 12/27
Todennäköisyydet voittaa noissa yllä mainituissa tapauksissa ovat:
1. 1/9 (1/3 * 1/3)
2. 1/3 (1/3 * 1/3 1/3 * 2/3)
3. 4/9 (2/3 * 2/3)
4. 7/9 (1/3 2/3 * 2/3)
Voiton kokonaistodennäköisyys on siis:
1/27 * 1/9 8/27 * 1/3 6/27 * 4/9 12/27 * 7/9
En tähän aikaan yöstä jaksa laskea mitä tuosta tulee tai tarkemmin perustella miksi nuo todennäköisyydet on tuollaiset kuin on.
Kokonaistodennäköisyydeksi voittaa tulee siis 133/243, eli noin 54,7%, ellen laskenut jotain väärin.
Jos nyt vielä kiinnostaa mistä nuo kaikki todennäköisyydet tulee, niin tässä tarkempi selitys:
Ensin valitaan ne neljä väriä. Voimme olettaa, että ensimmäinen valittava väri on mikä tahansa, tässä tapauksessa vaikkapa sininen (S). Jos se on punainen (P) tai musta (M), vaihtoehdot ovat symmetriset.
Olettakaamme siis, että ensimmäinen valinta on S. Tällöin muille kolmelle valinnalle on 3^3 = 27 eri vaihtoehtoa:
1. Kaikki värit samoja:
SSS, 1 vaihtoehto siis (tn 1/27)
2. Kolme samaa väriä ja yksi eri väri:
SSP kolmessa eri järjestyksessä (SSP; SPS; PPS) tai
SSM kolmessa eri järjestyksessä tai
PPP tai MMM,
8 eri vaihtoehtoa siis (tn 8/27)
3. Kaksi samaa väriä ja kaksi toista väriä:
SPP kolmessa eri järjestyksessä tai
SMM kolmessa eri järjestyksessä,
6 eri vaihtoehtoa siis (tn 6/27)
4. Kaksi samaa väriä, yksi toista väriä ja yksi kolmatta väriä:
SPM kuudessa eri järjestykessä tai
PMM kolmessa eri järjestykessä tai
MPP klomessa eri järjestykessä,
12 eri vaihtoehtoa siis (tn 12/27)
Nyt sitten ne voittotodennäköisyydet noilla eri vaihtoehdoilla:
1. Kaikki värit samoja:
Molemmat valinnat pitää olla tätä väriä, tn (1/3)^2 = 1/9
2. Kolme samaa väriä ja yksi eri väri:
Jos 1. valinta on sitä väriä, jota oli kolme (tn 1/3), voi 2. valinta olla kumpaa tahansa mukana olevaa väriä (tn 2/3).
Jos 1. valinta on sitä väriä, jota on yksi (tn 1/3), pitää 2. valinnan olla sitä väriä, jota on kolme (tn 1/3)
tn yhteensä siis 1/3 * 2/3 1/3 * 2/3 = 1/3
3. Kaksi yhtä väriä ja kaksi toista väriä:
Kummankin valinnan pitää olla jompaa kumpaa valittua väriä, tn (2/3)^2 = 4/9
4. Kaksi yhtä väriä, yksi toista väriä ja yksi kolmatta väriä:
Jos 1. valinta on sitä väriä, jota valittiin kaksi (tn 1/3), voi toinen valinta olla mikä vain (tn 1).
Jos 1. valinta on jompaa kumpaa muuta väriä (tn 2/3), pitää toisen valinnan olla muu kuin ensin valittu väri (tn 2/3)
tn yhteensä siis 1/3 (2/3)^2 = 7/9
Ja noista siis tuli se kokonaisvoittotodennäköisyys:
1/27 * 1/9 8/27 * 1/3 6/27 * 4/9 12/27 * 7/9 = 133/243
Kiitos vastauksesta.
Analyyttinen vastaus vielä puuttuu, esim. jos värejä lisätään tai valintoja jne...
Mietitään nyt sitten laajennus n>3 värille.
Värimäärän kasvaessa pitää kolmen värin tapauksen lisksi tarkastella vaihtoehto, missä kaikki 4 ensimmäistä valintaa ovat eri värejä.
Todennäköisyydet neljällä valinnalla n>3 värillä lienee:
4 samaa: 1/n^3
3 samaa 1 muu: 4*(n-1)/n^3
2 samaa 2 samaa: 3*(n-1)/n^3
kaikki eri väriä: (n-1)*(n-2)*(n-3)/n^3
2 1 1 väriä: loput vaihtoehdot (1 - nuo yllä olevat yhteensä), varmaan tähänkin saisi jonkun näppärän kaavan pääteltyä
Voittotodennäköisyydet eri vaihtoehdoille menee tuon kolmen värin tapauksen mukaisesti, paitsi että värejä valitaan neljästä tai useammasta. Lisäksi pitää tietenkin käsitellä tuo kaikki eri väriä tapaus. n>3 värillä eri valintatapauksissa siis:
4 samaa väriä: 1/n^2
3 1 väriä: 1/n * 2/n (1/n)^2 = 3/n^2
2 2 väriä: 4/n^2
2 1 1 väriä: 1/n * 3/n 2/n * 2/n = 7/n^2
1 1 1 1 väriä: 4/n*3/n = 12/n^2
Laajennusta eri valintamäärille en kyllä jaksa enää pähkäillä. Toivottavasti tästä oli apua.