Trigonometrinen yhtälö

Kyllähän mainittu x-arvoi toteuttaa yhtälön, sillä

sin(3pi/2) = -1, ja oikea puoli on 3pi/2 - 1.

Mutta saadaanko tämä arvo muuten kuin kokeilemalla? Jos yhtälö on muotoa

sin x = a - x,

niin sen ratkaisua tuskin saadaan muuten kuin numeerisesti, jos a-arvo on tiedossa.

Täydellinen ratkaisu edellyttää varmaan sen osoittamista, että ratkaisuja on vain yksi. Esim. niin, että ensin todetaan ratkaisuja voivan olla vain välillä 0 -2pii. Sen jälkeen derivaatann avulla osoitetaan, että takaisuja on vain yksi.

Niinhän se toteuttaa, mutta kysyinkin, miten se saadaan.

Ratkaisussa kerrotaan näin: Luku x toteuttaa yhtälön (3pi-2)/2 = x sin x. Huomataan, että x = 3pi/2. Muita ratkaisuja ei ole, koska funktio on aidosti kasvava. Mutta miten se huomataan? Kokeilu ei kuulosta järkevältä.

Jos tuo lukion tehtävä on, niin kyllä se kokeileminen ("valistunut arvaus") on se ratkaisutapa, sen jälkeen, kun olet 1) Todennut funktion jatkuvuuden (jollain välillä) 2) Todennut Bolzanon lauseella ratkaisun löytyvän joltain väliltä ja 3) Osoittanut aidosti kasvavuuden (f'(x)>0)

Tuossa tapauksessa havaitseminen on helppoa, koska se on piin murtoluku. On kuitenkin vastaavanlaisia yhtälöjä, joiden ratkaisu ei ole yhtä helposti todettavissa. Silloin saadaan ratkaisulle likiarvo vaikkapa iteroimalla, eli kaventamalla jatkuvasti väliä, jossa ratkaisu piilee.

Olen aika varma, että ratkaisua on haettava graafisesti.
Yhtälö saadaan tämmöiseksi:
sin(x)=-x ((3*pii/2)-1). Eli vasen puoli on y=sin(x), ja oikea puoli y= -x ((3pii/2)-1)
Oikea puoli on laskeva suora, jonka k=-1 ja se leikkaa molemmat akselit pisteissä (3pii/2)-1.
Nuo molemmat käyrät on helppo piirtää koordinaatistoon, niiden jatkuvuus on yleisesti todistettu, ja heti myös näkee, että ratkaisuja on täsmälleen yksi, ja hyvin lähellä arvoa x=3pii/2. Sitä kun koittaa, niin toteaa näin olevan.

Tuollainen graafinen ratkaisu riittää käytännön tilanteissa, mutta matematiikassa esim. tuo selitys, että kuvioista nähdään ratkaisuja olevan vain yksi on riittämätön.