Todista, että ellipsin kehän neljännes on aina lyhyempi kuin sen isoakselin puolikas summattuna pikkuakselin puolikkaaseen. Ympyrälle suhde on π/4 ja suoralle viivalle (äärimmilleen litistetty ellipsi) se on 1. Kaikissa muissa tapauksissa suhde lienee näiden välillä, mutta en kyennyt todistamaan sitä kun yritin.
http://fi.wikipedia.org/wiki/Ellipsi
http://fi.wikipedia.org/wiki/Ellipsi
Vastaukset 12
Vanhimmat
On ilmeistä, että se on lyhempi.
Tarkastellaan kuviota, jossa on ellipsin kehän neljännes ja akselien puolikkaat. Täydennetään akselien puolikkaiden muodostama kuvio suorakaiteeksi, jonka halki (vastakkaisesta kulmasta vastakkaiseen kulmaan) ellipsin kaari siis kulkee. Matkan suorakaiteen halki vastakkaisesta kulmasta vastakkaiseen kulmaan täytyy olla lyhempi suorakaiteen sisällä kulkevaa (koko ajan yhteen suuntaan kaartuvaa, ei siis mutkittelevaa) käyrää pitkin kuin suorakaiteen reunoja pitkin.
Varmaan tämän voi todistaa jotenkin muodollisen matemaattisestikin.
Vaikka tuolla alempana ratkaisu esitettiinkin jo integroimalla, jatketaan nyt tätä kuvan avulla päättelyä vähän. Kyse tietenkin on täsmälleen samasta asiasta kuin integroinnissakin, mutta toisella tavalla esitettynä.
Ylempänä piirrettiin kaaren neljänneksen ympärille yksi suorakaide. Olkoon suorakaiteita n kappaletta, siten että kaari kulkee kunkin suorakaiteen halki. Tällöin suorakaiteiden pikkuakselin suuntaisten pituuksien summa sum(y) = b ja isoakselin suuntaisten pituuksien summa sum(x) = a, eli sum(x y) = a b.
Kun n lähestyy ääretöntä, lähestyy kunkin suorakaiteen sisällä olevan kaaren pituus sqrt(x^2 y^2):ta. Kaaren päätepisteissä tämä on = x y, kaikkialla muualla < x y. Täten ellipsin kaari, sum(sqrt(x^2 y^2)) < sum(x y) = a b.
Ellipsin yhtälö on (x/a)^2 (y/b)^2 = 1. Avoimella välillä (0,a) sen derivaattaa dy/dx < 0 eli funktio on tasaisesti vähenevä (kohdassa x=a derivaattaa ei ole). Kysytyn kehän neljänneksen pituus on int(0->a) sqrt(dx^2 dy^2) < int(0->a) (dx dy) =a b. dy voidaan ratkaista aluksi mainitusta yhtälöstä ja integroida. Tässä noin pääpiirteissään, matemaattisesti epätäydellisesti mm. tuon derivoimattomuuden vuoksi.
se ei ole tasaisesti vähenevä vaan aidosti vähenevä, eri asia.
Jos piirretään a-säteinen origokeskeinen ympyrä ja sen sisään ellipsi, jonka isoakseli on a, ja pieniakseli on b, niin sen ellipsin kehän pituus on varmasti pienempi kuin sen ympyrän kehän pituus 2*pi*a.
Koska b < a, niin sen ellipsin kehän pituus on varmasti myös pienempi kuin
pi*(a b).
Neljännesellipsin kaaren pituus on siis varmasti pienempi kuin pi/4(a b), ja sen piti olla pienempi kuin a b.
pi/4(a b) < (a b) => pi < 4, niin kuin onkin
"Koska b < a, niin sen ellipsin kehän pituus on varmasti myös pienempi kuin
pi*(a b)."
Miksi? Tai siis, en ymmärrä mistä tämä tulee. Esim. ympyrän osaltahan b = a ja tällöin kehän pituus on tasan pi*(a b), ei pienempi kuin se.
keksin seuraavanlaisen tavan: ensin osoitat että kaaren pituuden osoittava integraali saa suurimman arvonsa kun eksentrisyys on nolla (pidät a:n vakiona), kyseessä silloin siis ympyrä. Sitten vaan todistat että tuossakin tapauksessa annettu ehto täyttyy, joten se täyttyy kaikissa muissakin tapauksissa.
Eksentrisyyden kasvaessa ellipsi litistyy ja kaaren neljänneksen pituuden suhde isoakselin ja pikkuakselin puolikaiden summaan kasvaa. Ympyrällä tuo suhde on pienin.
no niinpä se taitaa ollakin :(
Ekassa neljänneksessä olevan ellipsikaaren osan pituus on:
ds=sqrt(1 (dy/dx)^2)*dx.
Sen pitäisi olla pienempi kuin -dx dy (-dx, koska mennään negatiiviseen suuntaan)
sqrt(1 (dy/dx)^2)*dx < dy-dx , jaetaan dx:llä
sqrt(1 (dy/dx)^2) < dy/dx-1 , korotetaan toiseen
1 (dy/dx)^2 < (dy/dx)^2-2dy/dx 1 => -2dy/dx > 0
dy/dx= -(b^2/a^2)*(x/y), joten -2dy/dx >0
( ekassa neljänneksessä ja neljännesellipsistä oli puhe)
Joo, periaatteessa samaperiaate kuin mulla, paitsi mulla pitäisi olla -dy. Pisteessa x = o derivaatta dy/dx = 0 ja pisteessä x = a tuota derivaattaa ei ole. Niin että pitää tarkastella integraalia koko kaaren pituudelta ja pisteessä a raja-arvotarkasteluna.
voisikohan polttopisteitä jotenkin hyödyntää tuon todistamisessa?
Kun polttopisteistä kehälle laskettujen etäisyyksien summa on 2a ...
enpä kyllä keksi miten tuosta voisi päätellä.