Lentokonetta kohti laukaistaan ohjus, kun kone on suoraan ohjuksen laukaisukohdan yäpuolella
Ohjus lentää koko ajan vakionopeutta kohti konetta ja osuu siihen, kun kone on lentänyt vaakatasossa saman matkan kuin sen lentokorkeus.
Mikä on ohjuksen ja koneen nopeuksien suhde ?
Ohjus lentää koko ajan vakionopeutta kohti konetta ja osuu siihen, kun kone on lentänyt vaakatasossa saman matkan kuin sen lentokorkeus.
Mikä on ohjuksen ja koneen nopeuksien suhde ?
Vastaukset 34
Vanhimmat
jaa vakionopeutta kun aina ohjus kiihdyttää ja on nopeampi kuin, ja ohjautuvatkin yliääninopeuksissa nopeasti nykyään, jaa, mutta jos perus juttuihin eli miten kivi putoaa maahan..
sinillä pitää laskea nopeuksien suhde tuosta... arvioin että ohjus on noin .23 kertaa nopeampi kuin kone :)
Ei taida ihan sinillä selvitä, ja koneen ja ohjuksen nopeus on oletettava vakioiksi, muuten ei lasku noilla tiedoilla onnistu
Sitten jos joskus tämän selität, niin selittäisitkö perusteellisemmin kuin aikanaan tuon:
http://keskustelu.suomi24.fi/node/9664474#comment-48194737
(En ymmärtänyt siitä silloin mitään, enkä kyllä vieläkään)
Ohjuksen koordinaatit (x,y), lentokoneen korkeus h ja nopeus v, ohjuksen nopeus u, aika t. Saadaan perusyhtälöt:
(dx/dt)^2 (dy/dt)^2 = u^2
dy/dx = (h-y)/(vt-x)
Alkuehdot kun t=0: dy/dt=u, dx/dt=0
Siitä vaan ratkomaan. Ei taida mennä suljetussa muodossa?
Hyvä alku
Kun toisen yhtälösi lisäksi liität että ds = u*dt ja ds = sqrt(1 y'^2)dx, niin t-eliminoituu ja ohjuksen radan yhtälö ratkeaa parin integroinnin jälkeen.
Tuo ensimmäinen yhtälöhän on tuo.
(dx/dt)^2 (dy/dt)^2=u^2
(dx/dt)^2 (dy*dy*dx*dx/(dx*dx*dt*dt))=u^2
(dx/dt)^2*(1 (dy/dx)^2) = u^2
u=sqrt(1 (dy/dx)^2)*dx/dt
u*dt=sqrt(1 (dy/dx)^2)*dx,
mutta kun ei se t ihan ittellään eliminoidu, niin että miten se taahtuu ?
( (dx/dt)^2 (dy/dt)^2=u^2 ei pidä paikkaansa, huomannet virheen itsekin )
Ratkaise siitä toisesta yhtälöstä t. ja derivoi se -> dt /dx =?? ja toinen yhtälö oli tämä u*dt = sqrt(1 y'^2)dx , jne..
-------
Jatka siitä vaan edelleen
u*dt=sqrt(1 (dy/dx)^2)*dx,
Kakkos yhtälöstä dy/dx = (h-y)/(vt-x) muokkaat myös muodon dt/dx, siitä se menee.
"(dx/dt)^2 (dy/dt)^2=u^2 ei pidä paikkaansa, huomannet virheen itsekin"
'Miksi? ohjuksen nopeuden neliö ja yhtäpitävä tuon ds = u*dt ja ds = sqrt(1 y'^2)dx kanssa.
onkohan tuon ohjuksen lentorata ellipsin neljännes?
Yyksi niistä 60-luvun kiertävistä tehtävistä (maalarien tikkaat, ympyränurmikkoa syövä vuohi, punnuksen nostoteho jne), jotka putkahtelee säännöllisin välein esiin.
Tämä poikkeaa edukseen siinä että löytyy tarkka tulos ja ilman älytöntä laskemista.
Tietotekniikka ja laskimet vaan on vieneet aikansa legendoista niiden ennen niin olennaisen vaikeuden.
Ei taida kysyjä suostua ikinä kirjoittamaan sitä t:n eliminointiaan ja ratkaisuaan .
Ei se mikään ihme olekaan .
dy/dx = (h-y)(vt-x), tuosta tulee y = Cx-Cvt h, C = -u/v , joka toteuttaa diff. yhtälön, ja alkuarvot dx/dt=0 ja dy/dt=u, mutta
y(0,0) onkin h ja x(0,0) = hv/u, kun molemmat pitäisi olla 0,0.
nopeuksien suhteeksikin taitaa tulla u/v =sqrt2-1, järjetön sekin
Eikä tuossa muutenkaan mitään järkeä ole. Jos tuossa oletetaan, että t= vakio, niin kuin oletetaan, niin se dt/dx=0.
Jos t= t(x,y), niin kuin pitäisi ollakin, niin tuota diff.yhtälöä ei ratkaise millään
(u/v)*(y´´)*(y-h)/((y´)^2)=sqrt(1 (y´)^2), taikka en ainakaan minä
http://aijaa.com/0030910191143
Katselin tuolta annetusta linkistä, siellä on tarkasteltu vastaavaa tehtävää niin, että raketti lähtee pystysuoraan ja sitä jahtaava ohjus lähtee vaakasuoraan. Ratkaisuksi esitetään:
Y = L/2 (1/(1 s) * (1-x/L)^(1 s) - 1/(1-s) * (1-x/L)^(1-s)
2 s / (1-s^2) )
jossa s = v2/v1
Geometriaa tarkastellen tuon funktion pitäisi olla etsimämme funktion käänteisfunktio, eli x ja y pitäisi vaihtaa, ja lisäksi L = h, v1=u, v2=v . Yhtäkkiä näyttäisi, että se voisi olla ratkaisu, mutta en ole tarkistanut laskemalla. Ei tuo yhtälö kuitenkaan tule millään rutiinilaskulla.
Tästä sit mennään
u*dt=sqrt(1 (dy/dx)^2)*dx,
dy/dx = (h-y)/(vt-x)
Alimmainen yhtälö muokataan muotoon
y' =(vt-y) /(h-x)
Tämä meinaa että koordinaatisto käännetään niin että h on x-akselin suuntaan .
Koordinaatiston kääntö ei ole välttämätön, mutta helpottaa laskutoimitusta.
sitten ratkaistaan t alemmasta yhtälöstä
t =[ y'*(h-x) y ] /v
derivoidaan ;
dt/dx = [(h-x)* y'' ] /v
( tässä se koordinaatiston käännön etu )
Ensimmäisesstä yhtälöstä ; dt/dx =
sqrt(1 y'^2) /u
ja yhdistettynä :
u/v * (h-x) * y'' = sqrt(1 y'^2)
Siinä ohjuksen radan yhtälö.
Ratkaisu kaiketi käy kivuttomasti, mutta tässä yksi variaatio ilman apuvälineitä.
Merkitään y'=a ->> y'' = da/dx
>> u/v* da /dx = sqrt(1 a^2)/ (h-x)
integroituna a = sinh( (ln(h) - ln(h-x))*v/u )
(x=0, a=0 )
Eulerin sinh(x) =½ (e^x-e^-x) munnoksella >> a = ½ [ (h/(h-x))^v/u - ((h-x)/h)^v/u]
>> palautetaan a = y' ja integroidaan
>> y = - ½ h ( 1/(u/v-1) 1/ (u/v 1)), kun ehto(x=0, y=0 ) ja x =h
>> 1 = u/v - v/u
Ja suhteesta tulee se kultaisen leikkauksen suhde.
Tarkastakaa, vire ei ollut paras mahdollinen.
Kiitos ! Tulihan se sieltä. Tehtävä on siis muutettava pystysuoraan matkan h päästä ammutavaksi pystysuoraan nousevaksi raketiksi, johon osutaan korkeudella h, jotta sen saa ratkaistua.
Kaikkia vihjeitä tässä annettiikin, muttei sitä....
http://www.wolframalpha.com/input/?i=(u/v)*a`*(h-x)=sqrt(1 a^2) , a(0)=0
Ei näytä samalta
Förlåt. Sieveneehän se samaksi.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=2*y`(x)=((h/(h-x))^(v/u))-((h-x)/(h)))^(v/u) , y(0)=0
Sieveneeköhän tuo. Ei ole edes määritelty kun x=h
Koneet voi laittaa remonttiin ! Käsin laskemalla tulee u/v=(sqrt(5) 1)/2
Laita se yhtälö ilman reunaehtoja koneeseen:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=2*y`(x)=((h/(h-x))^(v/u))-((h-x)/(h)))^(v/u)
Saat tuloksen , josta näkee selvästi tuloksen johtavan esiteettyyn.
Itse asiassa painamalla show steps nähdään sen vakion C arvo., joka sitten on h
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot y=310((1000-x)/1000)^1.62-1285((1000-x)/1000)^0.38 1000 from 0 to 1000
Tossa on rata kun HEKO:n nopeus 55,6 m/s, lento korkeus 1 km.
Ohjuksen nopeus 90 m/s
Vaaka-akselilla korkeus ja pystyakselilla lentomatka, eli täytyy pistää oikeelle kyljelle maate, jos kuvaa katsoo
lataaminen kestää kauan...
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot y=309((1000-x)/1000)^1.618-1308((1000-x)/1000)^0.382 999 from 0 to 1000
nyt lähtee maasta
niin joo , en muistanut enää itsekään kuinka ne akselit oli
Tuosta saa kyllä täysin väärän käsityksen radasta , koska mittakaava on eri akseleilla.
Jos piirtää samaan kuvaan vastaavan ympyrän, niin voi todeta ettei se rata paljon ympyrän kaaresta eroa.
http://www.wolframalpha.com/input/?i= y=309((1000-x)/1000)^1.618-1308((1000-x)/1000)^0.382 999 , (y-1000)^2 x^2=1000000
Ihan vähän muuttamalla 309----310 , ja alue pois, saa sen näkymään oikeanakin
http://www.wolframalpha.com/input/?i= y=310((1000-x)/1000)^1.618-1308((1000-x)/1000)^0.382 999
Ei näitä näköjään kukaan katsele, kun ei ole kysytty miksi siinä C:n paikalla 999, eikä 1000 ?
Ei siihen mitään syytä, ole paitsi se, että se tulee laskemalla noista arvoista tuolla tarkkuudella. Laitetaan siihen nyt se 1000.
http://www.wolframalpha.com/input/?i= y=310((1000-x)/1000)^1.618-1308((1000-x)/1000)^0.382 1000
Eipä osaa simuloida kohdasta y=1000 eteenpäin. Siinähän molemmat räjähtävät, mutta matematiikka ei ota sitä huomioon. Ohjuksen pitäisi kait kulkea äärettömän tiheää siksakkia raketin ympärillä niin, että sen tehollinen nopeus on sama kuin raketilla.
Itse asiassa osaa. "Kompleksinen" ratahan se räjähdyksen jälkeen on kun koneen ja ohjuksen osia lentää joka suuntaan ja ohjaaja putoaa maahan.
Tuo koordinaatistonkääntötemppu on kai sama kuin että alkuperäistehtävässä olisi ratkaistu käänteisfunktio x = x(y,t). Helpottuu paljon, sillä y:n suhteen ratkaisemalla tulee tosiaan tuo ????:n aiemmin mainitsema (u/v)*(y´´)*(y-h)/((y´)^2)=sqrt(1 (y´)^2
Lisääkö nykyinen laskentaohjelmien kehitys helppokäyttöisyytensä mukana myös rajattomasti uusia mahdollisuuksia mennä entistä syvemmälle metsään.
Kun laittaa ohjuksen diff-yhtälön koneen laskettavaksi, tulos on vaikeaselkoista ja toisistaan poikkeavaa, esitysmuodosta riippuen. ! ! !
Käsinlaskennan suuri etu on, että funktiota voi muokata matkan varrella sopivaksi edelleen käsittelyn auttamiseksi, kone pysyy jääräpäisesti annetussa formaatissa.
Tämän tehtävän ratkaisu mm. saadaan suorastaan rutiininomaisen helpoksi parilla muokkauksella, toinen on koordinaatiston valinta ja toinen sinh-funktion muunnos paljaaksi potenssifunktioksi (tämän mahdollisuuden näkee helposti käsilaskennassa).
Mikäli sinh-funktion integrointia yrittää jatkaa samassa muodossa, mennään aika syvälle.
Tuoko ohjelmien käyttö saman ongelman kuin laskimet päässälaskutaidolle, eli kyky havaita funktion tai ryhmän ominaisuuksia ja rajoitteita korvautuu laskinrutiinilla ?