Iltaa, matemaatikot.
Olen pitkääön miettinyt, mistä johtuu, että Taylorin lause approksimoi funktioita hyvin. Toisin sanoen, miten voidaan matemaattisesti osoittaa, että juuri sen muotoinen sarjakehitelmä approksimoi funktioita.
Wikipediasta (englannin- tai suomenkielisen) ei todistusta löydy.
Kiitos, jos jaksat/osaat vastata!
Olen pitkääön miettinyt, mistä johtuu, että Taylorin lause approksimoi funktioita hyvin. Toisin sanoen, miten voidaan matemaattisesti osoittaa, että juuri sen muotoinen sarjakehitelmä approksimoi funktioita.
Wikipediasta (englannin- tai suomenkielisen) ei todistusta löydy.
Kiitos, jos jaksat/osaat vastata!
Vastaukset 10
Vanhimmat
Mutta joo tähän on jo keksitty tietokoneilla keinot, jolloin saadaan siitä peräti tarkempiakin approximaatioita, mutta sinänsä, tämä on aina mysteeri että mikä se lopullinen arvo on sitten?
Derivaatta oli täysin typerä keksintö, kokonaan, minun mielestäni sen voisi poistaa matematiikasta..
Mutta... hmm, äärettömyys on vaikea ratkaista aina :)
Todistus oli vanhassa matematiikan oppikirjassani. Mielestäni kyse ei ole mistään kovin vaikeasta asiasta, vaikka en nyt muistakaan miten todistus meni. Jotenkin valittiin piste, jossa funktio ja sen derivaatta saavat halutun arvon. Sitten ratkaistiin yhtälöryhmä ja tehtiin jotain muuta.
Niin on ennen tietokoneiden aikaa keksittyjä integraali ja derivaatta :D
Mutta filosofinen pointti on tässä se että silloin kaikki matematiikan professorit joutuisivat työttömiksi välittömästi, jos he hyväksyisivät uuden teknologian!!!
Aika pitkä tarina se olisi, mutta tästä sen ehkä oivaltaa
http://aijaa.com/0001410223749
Aivan loistava todistus, lyhyt ja selkeä. Kiitos.
mutta vastasiko täysin siihen mitä kysyttiin?
Päivää matemaatikot.
Olen siis ketjun aloittaja. Oli hyödyllistä nähdä "todistuksessa" se, miten tuon muotoisessa potenssisarjassa saadaan vakiokertoimet (Taylorin sarjan kertoimet) johdettua. Kiitos aeijalle tästä!
Kun tuossa johdettiin kertoimet, oletettiin ilmeisesti, että funktio voidaan esittää potenssisarjana f(x) = a0 a1(x-x0) a2(x-x0)^2 ...
Mistä tämä oletus?
Kiitos jo etukäteen asiallisista vastauksista!
Tämä oli juuri se kysymys, mihin pyrin tuolla sepustuksella vastaamaan, että:
Voidaaanko pisteen Xo ympäristössä suppenevan potenssisarjan summa esittää funktion f(x) muodossa, eli onko
S(x)= a0 a1(x-x0) a2(x-x0)^2 a3(x-x0)^3 .... , = f(x)
eli löytyykö nuo vakiot a0,a1, a2,a3,.....
Ne vakiot löytyivät f(x):n derivaattojen arvoilla pisteessä x0, sekä kertomien avulla, joten osoitin, että pisteen x0 ympäristössä suppenevan potenssisarjan summa on ensinnäkin S(x)=a0 a1(x-x0) a2(x-x0)^2 a3(x-x0)^3 .... ,
mutta myös f(x) eli se Taylorin polynomi derivaattoineen ja kertomineen.
En osaa selittää tämän kummemmin.
(Tämä on sikäli kiitollinen aihe, että tästä löytyy suomenkielistä materiaalia netistä vaikka kuinka, ja hakusanalla potenssisarja tai power series kannattaa lähteä liikkeelle. Minäkin näitä opettelen englanninkielisestä analyysistä , en minä mitään kouluja ole käynyt kuin jonkun hikisen lukion, ja sitä mukaa kun joku kyselee, opettelen itsekin. Minä en kuitenkaan viitsi paljon perustella kyhäelmiäni, koska olen huomannut, että ne täällä nopeasti korjataan, varmaan tämäkin.)
Täsmennetään sen verran, että suppenevan potenssisarjan summan voi siis esittää funktion f(x):n avulla, kun lausuu potenssisarjan vakiokertoimet funktion f(x) derivaattojen ja kertomien avulla.
Silloin pätee myös toisin päin, eli jonkun jatkuvasti derivoituvan funktion f(x) voi, jos voi, esittää suppenevan potenssisarjan avulla, jossakin kehityspisteen x0 lähiympäristössä, käyttäen vakiokertoimina f(x):n derivaattoja ja kertomia..
(ei olis kyllä pitänyt vastata tähän ikinä mitään, tämä on pohjaton suo......)
Taylorin sarjan jäännöstermi on muotoa f^(k 1)(khii)/(k 1)!*(x-a)^(k 1). Jos f on riittävän siisti, sen k 1:s derivaatta on myös siististi käyttäytyvä. Sen sijaan nimittäjässä oleva kertoma aiheuttaa sen, että jäännöstermin aiheuttama virhe lähenee nopeasti kohti nollaa.