Kirja suositus: Matemaattinen ajattelu/logiikka

Tsekkaa http://en.wikipedia.org/wiki/How_to_Solve_It . Jos matikan perusteisiin haluaa tutustua, kannattaa tutustua logiikkaan ja aksiomaattiseen joukko-oppiin. Vaatii tosin aikaa ennen kuin oppii lukemaan logiikkaa, kun yliopistomatikka on niin erilaista kuin lukion pitkä matikka. Yilopistojen kotisivuilta löytää usein luentoprujuja.

Jos yhtä kirjaa pitää suositella, niin From Immanuel Kant to David Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics(Ewald) on hyvä vaikka raskas, ja osin mahdoton, luettava lukion jälkeen. Matematiikan filosfia on nykyään kuollut pystyyn ja aksiomaattinen joukko-oppi on huono vitsi vastaukseksi niihin kysymyksiin. Pidemälle menevään kiinnostukseen Wittgensteinin: huomatuksia matematiikan perusteista ja toisaalta Cantorin alkuperäiset kirjoitukset.

Ei kai matemaattinen ajattelu prosessina erityisen poikkeavaa liene, riittää, että ymmärtää, että aina pitää olla pitävä peruste seuraavalle vaiheelle/päätelmälle. On varmaan jonkinlainen tuntuma jo siitä, jos on pystynyt suorittamaan lukion kurssin menestyksellä. Esim. jos lukisi kurssikirjoja oikeustieteellisen pääsykokeeseen, se vaatii samanoloista ajattelun tapaa. Luova taide taitaa olla toisenlaista :)

Ja ei ehkä jonkin yksittäisen kirjan perusteella homma taikatempun omaisesti kokonaan aukea; riippuu tietysti mitä tavoittelee. Tokihan matematiikan ja logiikan juuret filosofiassa ovat, ja lukemalla matematiikan historioita, sieltä paljastuu mitkä kysymykset ovat pakottaneet keksimään uusia määritelmiä, esimerkkinä vaikka irrationaaliluvun käsite ja vaikka pii ja e (ln) siinä ohessa.

Haastetta toki riittää, vaikkapa todennäköisyyskäsitteen filosofoinnissa. Otetaan vaikka lento-onnettomuus -esimerkki muutaman vuoden takaa. Insinööri laskee todennäköisyyksiä, miten pieni mahdollisuus on, että kaikki moottorit sammuvat yhtäaikaa. Todellisuus on monesti teorioita ihmeellisempi: kun kone lensi hanhiparveen, kaikki moottorit kuitenkin menettivät tehonsa ja kone teki pakkolaskun (hudson-jokeen). Insinööri voi vain todeta, että eipä tuommosta laskelmissa ole arvattu tai kyetty ottamaan huomioon.

Miten esim. tuossa formuloitais uskomus, että ainakin vähän aikaa tuollaisen jälkeen ei toista samanlaista tapausta ja ainakaan samassa kohtaa helposti tapahdu (otetaan opiksi). Mutta toisaalta (kuten sanottu), todellisuus on joskus ihmeellisempi kuin sarjakuvissa konsanaan... :)

Ps. päätäntäteorioissa tuon tyyppisiä lienee tosin pohdiskeltu

Niin mielenkiintoista ja vaikeaa kuin todennäköisyyden filosofia onkin, niin lentokoneiden moottoreilla ei juurikaan ole mitään tekemistä matematiikan filosofian varsinaisten peruskysymysten kanssa. Eikä ole liion predikaattilogiikallakaan vastoin ikävän yleistä dogmaattista myyttiä. Matemaatikot eivät ole sodan jälkeisenä aikana olleet kovin kiinnostuneita niistä kysymyksistä ja formalismi on lapsellisuudestaan huolimatta vallannut alaa. Hyvän esimerkin tarjoaa vaikkapa Cantorin klassinen diagonaalimenetelmä, jota ei ikinä voisi formuloida predikaattilogiikan kielelle. Näin siitä huolimatta, että väitteen voisi kyllä myös todistaa eri tavalla ZFC:n aksiomien ja predikaattilogiikan mukaisesti. Cantorin todistus perustuu täysin epämekaaniselle intuitiolle desimaalikehitelmän mielivaltaisuudesta. Jos ajattelee sen soveltamista ZFC:n numeroituvaan malliin, niin tilanne saa valoa. Johdonmukainen formalisti julistaisi sen mielettömyydeksi vaikka se todellisuudessa vakuuttaa jokaisen siihen tutustuvan ihmisen. Vastaavia esimerkkejä on helppo keksiä lisää. Matematiikka, ja sen todistukset, ovat todellisuudessa käsitteellisen todellisuuden kuvailemista ennemin kuin mekaanista logiikkaa.

Evariste Galoisin muistelmat ( julkaistu henkilön kuoleman jälkeen ranskaksi ) ei suomennettu
Eulerin tekstit ( ja niitä riittää )

aluksi

Suoritin kivikaudella matematiikan cumun ja filosofian cumusta matemaattisen lgoiikan kurssin (joka hyväksyttiin matematiikan osasuorituksena). PIdin logiikan kurssia erittäin hyödyllisena.

Kirjassuosituksena vaikkapa Mendelson: Introduction to Mathematical Logic. Muitakin vastaavia kyllä löytyy noilla hakusanoilla.

Rosenberg: A Concise Introduction to Mathematical Logic. Koko kirja löytyy googlettamalla pdf-tiedostona netistä.

Halunnet oppia miten matematiikkaa todistetaan.

Tässä muutama tapa.

1. Vastaesimerkki, väite ei pidäkään paikkansa riittää löytää yksi esimerkki joka täyttää oletuksen ehdot mutta ei väitettä, jos väite ei pidä paikkansa sen vastaväite pitää.

2. Vastaoletus, oletetaan että väite ei pidäkään paikkansa ja johdutaan ristiriitaan alkuperäisten oletusten kanssa.

3. Suora todistus. Lasketaan suoraan esim. (a b)^3=a^3 3a^2b 3ab^2 b^3. Suoritetaan laskutoimitus vaihe vaiheelta.

4. Induktiotodistus. Pitää todistaa numeroituvalle joukolle väittämä. Todetaan ensin että väite pitää paikkansa jossain yksinkertaisessa tilanteessa kun jokin lukumäärä on esim. pieni, sitten oletetaan että se pitää paikkansa lukumäärällä n ja todistetaan että tällöin se pitää paikkansa myös arvolla n 1 tai yleisemmin luvun n seuraajalla successor(n).