hei,
Aloin tuossa miettimään, että miten yhteenlasku on määritelty, ja mitä perusaksioomia tarvitaan että tuo otsikossa oleva identiteetti pitää paikkaansa?
Ilmeisesti tuo ainakin pätee luonnollisilla luvuilla (senhän sanoo maalaisjärki) mutta voiko nuo a ja b olla jotain otuksia siten että tuo ei pitäisikään paikkaansa?
Ja lopuksi vielä "maalaisjärjen" käyttö ei liene riittävä selitys luonnollisten lukujen ynnäämiseen vaan siihenkin ilmeisesti tarvitaan joku matemaattinen todistus että näinhän sen täytyy olla. Vai onko se vain määritelmä?
Aloin tuossa miettimään, että miten yhteenlasku on määritelty, ja mitä perusaksioomia tarvitaan että tuo otsikossa oleva identiteetti pitää paikkaansa?
Ilmeisesti tuo ainakin pätee luonnollisilla luvuilla (senhän sanoo maalaisjärki) mutta voiko nuo a ja b olla jotain otuksia siten että tuo ei pitäisikään paikkaansa?
Ja lopuksi vielä "maalaisjärjen" käyttö ei liene riittävä selitys luonnollisten lukujen ynnäämiseen vaan siihenkin ilmeisesti tarvitaan joku matemaattinen todistus että näinhän sen täytyy olla. Vai onko se vain määritelmä?
Vastaukset 7
Vanhimmat
Yleensä laskutoimitukset määritellään ilman aksioomia. Esimerkiksi reaalilukujen aksioomissa on annettu suoraan, että reaaliluvuilla on yhteenlasku. Lisäksi matematiikasta löytyy lukuisia rakenteita, joissa yhteenlasku määritellään eri lailla kuin reaaliluvuilla. Esimerkiksi kompleksiluvuille on oma yhteenlasku, samoin matriiseille tai kongruensseille mod n. Luonnolliset luvut toteuttavat Peanon aksioomat ja identiteetti a b=b a seuraa identiteetistä a=b on yhtäpitävää b=a kanssa ja induktiosta. Joku loogikko osaa varmaan paremmin vastata tähän.
Itse asiassa = on ekvivalenssi missä tahansa joukossa, etenkin siis ei-kommutatiivisissa ryhmissä (mm. säännöllisten matriisien kertolasku). Ekvivalenssista a=b b=a ei siis todellakaan seuraa, että pätisi a b=b a.
Yhteenlaskun määritelmä riippuu ihan siitä, miten yhteenlasku määritellään. Merkillä ” ” voidaan tarkoittaa eri asioita. Yleensä on kuitenkin tapana – ja järkevää –, että plusmerkkiä käytetään vain kommutatiivisille laskutoimituksille.
Aksiomatiikasta riippuu, voidaanko kommutatiivisuus johtaa aksioomista ja miten vai onko se osa aksioomia. Jos luonnolliset luvut määritellään Peanon aksioomilla, kommutatiivisuus voidaan johtaa aika helposti.
HUH! Enpä ole kukenut tyhjänpäisempää "älyllistä" kommenntia aikoihin! Esitäpä nyt meille tyhmille joku aksiomaattinen systeemi, jossa yhteenlaskun käänteispitävyys - suomeksi sanottuna - ei pidä paikkaansa.
HUH! Yhteenlaskun käänteispitävyys ei ole edes sana, joten sinuna en lähtisi pätemään kommutatiivisuusväitteillä. Olkoon G=R^3, ja määritellään näiden ristituloksi. Selvästi (G, ) on suljettu. Tällöin
(1,0,0) (0,1,0)=(0,0,1)
(0,1,0) (1,0,0)=-(0,0,1).
Siis ei ole kommutatiivinen.
Vieläkin yksinkertaisemmin: määritellään joukko A = {a, b} ja a a = a, b b = b, a b = a ja b a = b.
"voiko nuo a ja b olla jotain otuksia siten että tuo ei pitäisikään paikkaansa?"
Hyvin johdateltu. Ei tietenkään voi pitää paikkaansa. Ellei kyseessä ole otuksen täydellinen geneettinen kopio. Tällaista ei liene mahdollista ainakaan ihmisen toimesta luoda.