a + b = b + a

Yleensä laskutoimitukset määritellään ilman aksioomia. Esimerkiksi reaalilukujen aksioomissa on annettu suoraan, että reaaliluvuilla on yhteenlasku. Lisäksi matematiikasta löytyy lukuisia rakenteita, joissa yhteenlasku määritellään eri lailla kuin reaaliluvuilla. Esimerkiksi kompleksiluvuille on oma yhteenlasku, samoin matriiseille tai kongruensseille mod n. Luonnolliset luvut toteuttavat Peanon aksioomat ja identiteetti a b=b a seuraa identiteetistä a=b on yhtäpitävää b=a kanssa ja induktiosta. Joku loogikko osaa varmaan paremmin vastata tähän.

Itse asiassa = on ekvivalenssi missä tahansa joukossa, etenkin siis ei-kommutatiivisissa ryhmissä (mm. säännöllisten matriisien kertolasku). Ekvivalenssista a=b b=a ei siis todellakaan seuraa, että pätisi a b=b a.

Yhteenlaskun määritelmä riippuu ihan siitä, miten yhteenlasku määritellään. Merkillä ” ” voidaan tarkoittaa eri asioita. Yleensä on kuitenkin tapana – ja järkevää –, että plusmerkkiä käytetään vain kommutatiivisille laskutoimituksille.

Aksiomatiikasta riippuu, voidaanko kommutatiivisuus johtaa aksioomista ja miten vai onko se osa aksioomia. Jos luonnolliset luvut määritellään Peanon aksioomilla, kommutatiivisuus voidaan johtaa aika helposti.

"voiko nuo a ja b olla jotain otuksia siten että tuo ei pitäisikään paikkaansa?"

Hyvin johdateltu. Ei tietenkään voi pitää paikkaansa. Ellei kyseessä ole otuksen täydellinen geneettinen kopio. Tällaista ei liene mahdollista ainakaan ihmisen toimesta luoda.