niin että.. osaisiko joku kertoa, miten voi opetella matemaattista perustelua? Olen miettinyt pääni puhki, mutten ole saanut perusteltua vielä yhtäkään laskutoimitusta oikein...
Matemaattinen perustelu
Necrolai
8958
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 8
Vanhimmat
Voisitko antaa esimerkin tehtävistä, joita olet miettinyt, niin voisin yrittää antaa yksityiskohtaisempia neuvoja? Oma lähestymistapani on sellainen, että muutan sanallisen tehtävän "matemaattiseen" muotoon esimerkiksi yhtälöksi.
Tässä lyhyt esimerkki:
Tehtävä: Suorakulmion lyhyemmän sivun pituus on puolet pitemmän sivun pituudesta. Mitkä ovat suorakulmion sivujen pituudet, kun sen pinta-ala on 32 neliömetriä.
Ratkaisu: Tehtävässä kysytään sivujen pituuksia, joten olkoon x lyhyemmän sivun pituus. Tällöin pitemmän sivun pituus on 2x. Suorakulmion pinta-ala on kanta kertaa korkeus, joten
x kertaa 2x = 32 neliömetriä.
Muodostunut vaillinen toisen asteen yhtälö saadaan ratkaistua neliöjuuren avulla. Sivujen pituuksiksi tulee 4 metriä ja 8 metriä.
Kehotan omia opiskelijoitani aina kokeilemaan mitä tehtävässä annetuista tiedoista saadaan. Oikeaa reittiä ei välttämättä löydy ensimmäisellä eikä toisellakaan yrityksellä, mutta jokaisesta kerrasta oppii aina jotakin.
Esimerkistäsi oppii miten ei tule menetellä, kun perusteluja kysytään.
Menetelmää käyttäen nimittäin saataisiin sivujen pituuksiksi mainitsemasi vastauksen lisäksi myös -4 metriä ja -8 metriä.
Ne perustelut tarvitaan jotta tuo (väärä) vastaus saadaan eliminoitua, jolloin jäljelle jää ainoastaan se mainitsemasi 4 metriä ja 8 metriä.
Lisäksi oppilaitoksesta riippuen saatettaisiin tarkastella myös niitä tilanteita, joissa suorakulmio ei ole tasopinnalla, jolloin sivujen tulo < pinta-ala.
Matemaattinen perustelu siis liittyy perusaksioomiin ja niiden soveltamiseen aukottomalla matemaattisella logiikalla, jossa ei saa oikoa olettamalla jotain todeksi, vaikka olisikin oikeassa, vaan asiat on todellakin perusteltava perusaksioomiin nojautuen vaaditulla tasolla. Yleensähän matematiikassa ei vaadita perustelemaan niitä itsestäänselvyyksiä, jotka toiset ovat jo aiemmin perustelleet, muitta jos aiheena on perustelemisen oppiminen, niin silloin asia on tietysti toisin.
Aloitus on kovin suppea, mutta luulen, että koululainen kysyy ja tarkoittaa tilannetta, jota vastaavaa joku toinenkin tässä vieressä kysyy:
http://keskustelu.suomi24.fi/node/11092060
Kommenttisi on taas tieteen teon näkökulmasta, ja nämä maailmat ovat (aluksi) kohtalaisen kaukana toisistaan
Tuo MatikanMaikka:n esimerkki on sattumalta osuva siinä, että ratkaisua haettaessa tulee kierretyksi toisen asteen yhtälön kautta ja siinä ohessa tulee myös tuo -4 mukaan. Koulussa kai tuo ohitetaan sillä, ettei suorakulmion sivu ole oikeasti negatiivinen, joten se siitä.
Tieteen tekijä tarttuu sitten tuollaiseen ongelmaan, ja alkaa miettiä miksi tulee myös -4 ja olisiko tuolle jotain tulkintaa ja tarkoitusta tehtävässä. Vai kuuluuko matemaattisiin ratkaisuihin joskus/useamminkin se, että tulee ns.roskaa mukaan ja pitää tehdä vielä jokin siistimisoperaatio ennen kuin vastaus kirjoitetaan. Ja mitkä ovat kriteerit jolla roskaksi tuomitaan (tehtävän kannalta), jos mitään järkevää merkitystä ei löydy tai näe. Ja onko se linjassa matematiikan täydellisyyteen pyrkimyksen kanssa, jos ja kun ideaalina on se, ettei ns.vääriä vastauksia teorian pitäisi tuottaa.
Siinäpä jonkin kaltaista yksityisajattelua, mutta kuten mainittu, ei nämä peruskoulumatikan ongelmia taida suuremmin olla... :)
Kyllä peruskoulun matematiikassa ainakin aikaisemmin on käsite määrittelyjoukko ollut olemassa.
Sitä en sitten tiedä onko enää.
Nelikulmion yksi sivu voi muuten olla negatiivinen, muttei suorakulmion.
__
\ /
X
/ \
----
Yllä periaatekuva vaillinnaisella fonttivalikoimalla.
En ihan arvaa, mitä ajat takaa, mutta esim.juuriyhtälöissä, mitkä ratkaistaan korottamalla potenssiin, saatu ratkaisu on tarkastettava vielä määrittelyjoukkoansa vastaan. Potenssiinkorotus puolittain aiheuttaa, että tarjolle voi tulla liikaa tavaraa.
Miten nelikulmion yksi sivu voi olla negatiivinen, tuosta kuvasta ei oikein aukene :)
Kirjoittaja tarkoittanee ns. nurjahtanutta nelikulmiota, jossa kaksi vastakkaista sivua menevät ristiin, eli monikulmiota, jonka sivut leikkaavat toisiaan.
Tosin sivunpituus tuollaisessakaan ei voi olla negatiivinen. Monikulmion pinta-alalle saadaan tietysti määrittelyjen ja laskentatavan mukaan varsin mielenkiintoisiakin arvoja.
" Kirjoittaja tarkoittanee ns. nurjahtanutta nelikulmiota, jossa kaksi vastakkaista sivua menevät ristiin, eli monikulmiota, jonka sivut leikkaavat toisiaan. "
Kyllä.
" Tosin sivunpituus tuollaisessakaan ei voi olla negatiivinen. "
Ei niin, mutten niin väittänytkään.
Pituushan on itseisarvona aina ei-negatiivinen.
Mutta sivu voi olla negatiivinen, vaikkei sen pituus sitä tietysti olekaan.
Esim kun nelikulmion kulmat nimetään peräkkäisessä järjestyksessä A,B,C,D
ja sivu AB kerrotaan luvulla -1, saadaan ko sivun suuntajanaksi vastakkaissuuntainen BA, ja tuloksena sivut BC ja AD risteävät toisensa.
Kukaan ei tietenkään pakota tällaisia määrittelyjä käyttämään, mutta niin voidaan ilman virheitä tehdä.
PS.
Fonttivalikoimaa tämä sivusto ei näytä pystyneen edelliseen postaukseeni tulostamaan oikein, jolle en mahda mitään.
Huumorihmisii... tässä lienee yksi teoreettinen lähestymisyritys aiheeseen:
http://naurunappula.com/224346/mahdotonta.jpg
Muuten teorioissa on vain mielikuvitus rajana, voi kuvitella mitä lystää,
esim.kello puolenyön hetkellä ja jälkeenkään ei toviin aikaan ole suorastaan mitään, varsinkin jos pyöristetään lähimpään tuntiin....