Ajatellaan seuraavaa koulutehtävää. Auton paikka mitataan ajan funktiona ja saadaan esimerkiksi
t = {0, 1, 2, 3, 4}
y = {0, 10, 20, 30, 40}
sitten pitää määritellä a) paikka ajan funktiona b) nopeus ajan funktiona c) kiihtyvyys ajan funktiona.
Tunnollinen opiskelija tietenkin piirtää koordinaatistojärjestelmään pisteet ja tekee sen kaikista yksinkertaisimman mahdollisen olettamuksen paikasta, eli piirtää suorat viivat näiden pisteiden väliin.
Eli se mitä opiskelija tekee on lineaarinen interpolointi pisteiden välille. y = ax b. Tämän jälkeen hän tätä monesti tiedostamattaan derivoi: y' = a. Eli laskee kahden mittauspisteen etäisyyden Dy ja jakaa sen ajalla Dt.
Seuraavaksi tuleekin kimurantimpi ongelma. Osoittautuukin, että nopeus on paloittain vakio funktio ja sen derivaattaa ei olekaan määritelty! Mistä siis kiihtyvyys?
No, nokkela opiskelija tietenkin sitten soveltaa ja olettaa, että nopeus onkin vähintään c0 jatkuva funktio ja jollakin logiikalla interpoloi nopeuden. y' = cx d. Tästä sitten derivoidaan ja saadaan kiihtyvyydeksi y'' = c.
Ongelmaksi muodostuu tässä päättelyssä että c) kohdan oivallus tekee b) kohdan päättelyn epäkelvoksi. Lisäksi, jos oletetaan että y'' on vain paloittain vakio funktio ilman jatkuvuusvaatimusta, se on kaikin puolin järjestön.
Siinä mielessä opiskelijan täytyisikin lähteä siitä olettamuksesta että minimiehto edes jonkinlaiselle kelvolliselle tulokselle olisi olettaa että y'' on vähintään jollakin tavalla jatkuva funktio jotta sillä olisi selkeä fysikaalinen merkitys. Auton kiihtyvyys ei voi muuttua 0 sekunnissa arvosta a arvoon b.
Periaatteessa varmaankin kiihtyvyyden derivaatan täytyisi myös olla olemassa, mutta lineaarinen interpolaatio tuottanee jollakin tavalla jo kelvollisen ratkaisun.
Jos oletetaan, että kiihtyvyys on (c0) jatkuva funktio, pitäisi paikan siis vähintään olla kuubinen asteluvultaan jos sitä pyritään polynomifunktiolla kuvaamaan. Sellaisen käsinlasku ei kuulu enää peruslaskutoimituksiin.
Se keskeinen ihmettelyn aihe onkin, että miksi vedetään viivoja vimmalla pisteiden välille, eli tehdään linaarista olettamusta. Mikä sitten olisi parempi. Ainakin Fourier-sarjoilla saataisiin ääretön-jatkuvia funktioita (saako muuten ääretön-jatkuvia interpolaatioita..?).
Emme koskaan saa mitattua äärettömän lyhyellä aikavälillä, jotenka se informaatio mittapisteiden väliltä täytyy kuitenkin jollakin tavalla "arvata". Se mikä se arvaus lopulta on, sen päättää lopulta ilmeisesti vaan mielikuvitus. Onkohan asia niin, että kaikki fysikaalista todellisuutta kuvaavat funktiot ovat lopulta ääretön-jatkuvia?
t = {0, 1, 2, 3, 4}
y = {0, 10, 20, 30, 40}
sitten pitää määritellä a) paikka ajan funktiona b) nopeus ajan funktiona c) kiihtyvyys ajan funktiona.
Tunnollinen opiskelija tietenkin piirtää koordinaatistojärjestelmään pisteet ja tekee sen kaikista yksinkertaisimman mahdollisen olettamuksen paikasta, eli piirtää suorat viivat näiden pisteiden väliin.
Eli se mitä opiskelija tekee on lineaarinen interpolointi pisteiden välille. y = ax b. Tämän jälkeen hän tätä monesti tiedostamattaan derivoi: y' = a. Eli laskee kahden mittauspisteen etäisyyden Dy ja jakaa sen ajalla Dt.
Seuraavaksi tuleekin kimurantimpi ongelma. Osoittautuukin, että nopeus on paloittain vakio funktio ja sen derivaattaa ei olekaan määritelty! Mistä siis kiihtyvyys?
No, nokkela opiskelija tietenkin sitten soveltaa ja olettaa, että nopeus onkin vähintään c0 jatkuva funktio ja jollakin logiikalla interpoloi nopeuden. y' = cx d. Tästä sitten derivoidaan ja saadaan kiihtyvyydeksi y'' = c.
Ongelmaksi muodostuu tässä päättelyssä että c) kohdan oivallus tekee b) kohdan päättelyn epäkelvoksi. Lisäksi, jos oletetaan että y'' on vain paloittain vakio funktio ilman jatkuvuusvaatimusta, se on kaikin puolin järjestön.
Siinä mielessä opiskelijan täytyisikin lähteä siitä olettamuksesta että minimiehto edes jonkinlaiselle kelvolliselle tulokselle olisi olettaa että y'' on vähintään jollakin tavalla jatkuva funktio jotta sillä olisi selkeä fysikaalinen merkitys. Auton kiihtyvyys ei voi muuttua 0 sekunnissa arvosta a arvoon b.
Periaatteessa varmaankin kiihtyvyyden derivaatan täytyisi myös olla olemassa, mutta lineaarinen interpolaatio tuottanee jollakin tavalla jo kelvollisen ratkaisun.
Jos oletetaan, että kiihtyvyys on (c0) jatkuva funktio, pitäisi paikan siis vähintään olla kuubinen asteluvultaan jos sitä pyritään polynomifunktiolla kuvaamaan. Sellaisen käsinlasku ei kuulu enää peruslaskutoimituksiin.
Se keskeinen ihmettelyn aihe onkin, että miksi vedetään viivoja vimmalla pisteiden välille, eli tehdään linaarista olettamusta. Mikä sitten olisi parempi. Ainakin Fourier-sarjoilla saataisiin ääretön-jatkuvia funktioita (saako muuten ääretön-jatkuvia interpolaatioita..?).
Emme koskaan saa mitattua äärettömän lyhyellä aikavälillä, jotenka se informaatio mittapisteiden väliltä täytyy kuitenkin jollakin tavalla "arvata". Se mikä se arvaus lopulta on, sen päättää lopulta ilmeisesti vaan mielikuvitus. Onkohan asia niin, että kaikki fysikaalista todellisuutta kuvaavat funktiot ovat lopulta ääretön-jatkuvia?
Vastaukset 2
Vanhimmat
Tarkoitin muuten päättelyn epäkelpoisuudella siis sitä, että samasta funktiosta muodostetaan kaksi eri interpolaatiota joista toista käytetään ensimmäisen tehtävän ratkaisuun ja toista jälkimmäisen. Onhan tämä tietenkin luvallista ja kuten on ilmeistä, tuntematonta funktiota ei tunneta, mutta kyllä mielestäni lähtökohtaisesti tulisi käyttää vain yhtä interpolaatiota. Jos jokin on ääretöntä, se on mielikuvitus kun pitää ratkaista mahdottomia asioita.
Vielä lyhyt ajatusleikki tähän. Vedät paperille kynällä viivan, joka ei mene paperin reunojen suuntaisesti. Kuvitellaan koordinaattiakselit paperin reunojen suuntaisesti. Sen viivan voi sitten derivoida ja pitäisi tulla suora viiva joka kuvastaa tuon ensimmäisen viivan kulmakerrointa. Tuo viiva ei kuitenkaan ole suora vaan siinä on joitakin muotovirheitä. Se koko ajan "vaeltelee" jonnekin suuntaan. Periaatteessa se siis on derivoituva ja derivoitu tulos kertoo siitä, että epäkelpo matematiikan opiskelija ei osannutkaan piirtää suoraa viivaa. Hyvä yritys se toki oli, mutta toinen derivaatta on edelleen olemassa?