"Perustele tuloperiaatteella, miksi kertolaskun osittelulaki pitää paikkansa".
Todistanko päin puuta:
Tuloperiaate = m*n = n n n n n... n (m määrä yhteenlaskettavia)
Kertolaskun osittelulaki: p * (m n) = p*m p*n
p = 5, m = 10, n = 7
5 * (10 7) = 5 * 10 5 * 7 = 85
Tuloperiaatteen nojalla:
5 * 10 5 * 7 = 10 10 10 10 10 7 7 7 7 7 = 85
mot?
Tehtävän annossa vinkattiin, että voisin käyttää todistamiseen esim. jotain vaateyhdistelmien lukumäärää, laskien kahdella eri tavalla.
En kyllä käsitä miten voisin ositteluperiaatteella luoda tilanteen, jossa "yhteenlaskettavat kerrotaan erikseen" tai "summasta voidaan erottaa yhteinen tekijä", jos luon tilanteen, jossa lasken yhdistelmien määrän.
5*10*7 = 350 vaihtoehtoa, joka on selkeästi eri kuin lukema 85. Miten tästä saisi väännettyä vaateyhdistelmätehtävään laskelman: p * (m n) = p*m p*n, tai sama toisinpäin?
Vai haetaanko tässä tälläistä: (1 1 1 1 1) * (5 5) * (1 1 1 1 1 1 1) = (5*1)*(2*5)*(7*1) = 350 ?
Todistanko päin puuta:
Tuloperiaate = m*n = n n n n n... n (m määrä yhteenlaskettavia)
Kertolaskun osittelulaki: p * (m n) = p*m p*n
p = 5, m = 10, n = 7
5 * (10 7) = 5 * 10 5 * 7 = 85
Tuloperiaatteen nojalla:
5 * 10 5 * 7 = 10 10 10 10 10 7 7 7 7 7 = 85
mot?
Tehtävän annossa vinkattiin, että voisin käyttää todistamiseen esim. jotain vaateyhdistelmien lukumäärää, laskien kahdella eri tavalla.
En kyllä käsitä miten voisin ositteluperiaatteella luoda tilanteen, jossa "yhteenlaskettavat kerrotaan erikseen" tai "summasta voidaan erottaa yhteinen tekijä", jos luon tilanteen, jossa lasken yhdistelmien määrän.
5*10*7 = 350 vaihtoehtoa, joka on selkeästi eri kuin lukema 85. Miten tästä saisi väännettyä vaateyhdistelmätehtävään laskelman: p * (m n) = p*m p*n, tai sama toisinpäin?
Vai haetaanko tässä tälläistä: (1 1 1 1 1) * (5 5) * (1 1 1 1 1 1 1) = (5*1)*(2*5)*(7*1) = 350 ?
Vastaukset 13
Vanhimmat
Ei tuollaisessa tehtävässä ole mitään järkeä. Kertolaskun osittelulaki pätee, koska sen on sovittu reaalilukujen aksioomissa. Jos taas pitää käyttää joitain vaateyhdistelmiän lukumääriä, niin kysymys menee filosofiseksi. Miksi vaikkapa kaksi paitaa voidaan samaistaa luvun 2 kanssa?
Hyvin olen matematiikassa pärjännyt, vaikka tuollaista tehtävää en osaakaan ratkaista.
Kuulostaa ihan siltä että opettajasi on keksinyt tehtävän itse?
Käsite "tuloperiaate" liittyy vahvasti todennäköisyyslaskentaan, ja sillä voidaan laskea vaikkapa juurikin erilaisten asukokonaisuuksien lukumäärä kun on käytössä 5 paitaa, 10 housua ja 7 hattua. Osittelua sen sijaan voidaan käyttää vain jos summalausekkeen tekijöillä on jokin (voisi sanoa, ykkösestä poikkeava) yhteinen tekijä.
Plus että yhdellä vaate-esimerkillä ei kyllä todisteta yhtään mitään. Jos sillä jotain saakin todistettua niin vain sen yhden tilanteen, ei se kerro mitään muista tapauksista. Esimerkkiä voi käyttää todistamisessa vain siinä tapauksessa jos halutaan vaikka todistaa jokin väittämä vääräksi, sillon voidaan etsiä vastaesimerkki.
Onko tehtävä peruskoulun oppikirjasta?
Jos, siinä tapauksessa edelliset vastaajat eivät ole ymmärtäneet tehtävää.
Sun tarttee tehdä vain näin:
85 = 5 * 10 5 * 7 = 10 10 10 10 10 7 7 7 7 7 =
(10 7) (10 7) (10 7) (10 7) (10 7) = 5*(10 7) = 85.
Itse asiassa lukion pitkän matematiikan kirja.
Oliko tehtävä jotenkin epämatemaattinen, yksinkertaistettu, vai miten tästä tuli hämmennystä?
Sitä ennen: luuletko nyt jälkikäteen että tuota tarkoitettiin, kun näit yo.vastauksen?
Tuo vastaus näyttäisi ainakin sellaiselta, mitä uskoisin kirjassa haettavan. Sitä en tiedä onko oikean vai väärin, kun kirja ei tarjoa tälläiseen tehtävään ratkaisua.
Pitäisi varmaan ohittaa nämä tehtävät itseopiskelussa, vaikkakin mielelläni haluaisin ratkaista nekin.
Tällaisella palstalla kysyjiä ja vastaajia on koululaisista valmistuneisiin eli koko asteikolta ja aina kysymyksestä ei käy selville, missä kohtaa skaalaa liikutaan. Silloin usein ei 'oletustasot' puolin ja/tai toisin kohtaa.
Niinpä tässä toinen vastaaja aprikoi todennäköisyyslaskennan suuntaan ja eka kaiketi yliopistotason algebraan. Kysymys ei ole matemaattisesta ymmärryksen puutteesta, vaan tehtävässä muutaman harvan viitteellisen sanan tulkintayritys voi johtaa harhaan.
Tässä esim."tuloperiaate", joka esiintyy myös todennäköisyyslaskennassa. ja sulla "vaateyhdistelmä" -termin merkityksen tulkinta väärin tässä yhteydessä.
Eka vastaaja varmaan mielellään itse kertoo pitemmälle menevien matematiikan teorioiden rakentamisen periaatteista aksioomineen, mikä ei välttämättä näennäisesti mene yks yhteen koulukirjan merkintöjen kanssa. Karkeimmalla tasolla siinä on kysymys, että jos asia A otetaan aksioomaksi, niin asia B voidaan johtaa siitä, jos taas (esim. algebrassa) asia B otetaan aksioomaksi, asia A voidaan johtaa siitä. Käytännössä tällaiset eivät paradokseja aiheuta, teorian todistusketjut vaan menevät paikoin eri lailla. Nimim."jokulaskija" jatkaa..... :)
ps. vielä kielestä: kaiketi perustele -sana ei ole matematiikassa niin vahva kuin oikea todistus, tehtäväsi tarkoitus on kai että todennat itsellesi noilla numeroilla tuon osittelulain (siinä mielessä että vaikuttaa 'katu-uskottavalta'.... heh..)
En osaa paljoakaan matematiikan ihan perusteita, sillä en lukenut yliopistossa logiikkaa tahi aksiomaattista joukko-oppia. Kysymys on vaan siitä, että matikassa on jostain lähdettävä liikkeelle ja nämä lähtöaksioomat on nimeltään aksioomia. Sitten ne on todistettu ristiriidattomiksi pakotuksen avulla, tai sitten niitä ei voi todistaa ristiriidattomaksi, en tiedä.
Nyt kertolaskun osittelulait ovat tällainen aksiooma. sen mukaan kaikilla reaaliluvilla a,b,c on voimassa a(b c)=ab ac ja (a b)c=ac bc. En sitten tiedä, seuraako nämä lait kokonaisluvuille, jos lähtee liikkeelle Peanon aksioomista vai onko osittelulaki sielläkin aksiooma.
Aika sekavaa keskustelua. En ole matemaatikko, mutta tuo "tuloperiaate" on mielestäni matemmaattisen tulon määritelmä. Tuo "osittelulaki" (pikemminkin sääntö) taas on johdettavissa, kun tulo ja yhteenlasku on määritelty. Ei se mikään aksiooma ole, ja kun katsoo Wikistä Peanon aksioomia, ei siellä niin väitetäkään.
Kokonaisluvuille tuo osittelulaki on johdettavissa noista ehdoista
a*0=0
a S(b)=a (a*b).
Mutta mikä takaa, että osittelulaki on voimassa muillekin kuin kokonaisluvuille? Eipä mikään, joten reaalilukujen tapauksessa on keksittävä jotain muuta. Siksipä se on valittu aksioomaksi.
Pitäisikö olla: a*S(b)=a (a*b)?
Pitäisi. Pahoittelen virhettäni.
Nimim.Maallikko jälkeiset kommentit menevät edelleen aloittajan kysymystasosta ohi. Käsittääkseni kysyjän oppikirja (ja opettaja) antaa vain reaalilukujen lasku*säännöt* (vaihdanta- , liitäntä- ja osittelulaki) sellaisenaan, joita vaan siinä vaiheessa "tulee uskoa". Koska ne vaan ovat kokonais- ja rationaaliluvuista saadun tuntuman nojalla "niin ilmeisiä"; Peanon aksioomista tuossa vaiheessa ei puhuttane vielä mitään. (Provokatorisesti korostaen: ei kauppalaskun yhteen- ja kertolaskujen yhdistelmäloppusumman uskomiseksi tarvita vielä Peanon aksioomia :-)
Ja noin on, perustelu ei tarkoita matemaattista todistusta, vaan jonkinlaista intuitiivista todennusta asiasta, tässä tapauksessa tarkoitettu varmaan edellä esitettyyn yhteenlaskun liitäntälakiin (ryhmittelyyn) vedoten.
Kevennyskappale: aikanaan jossain aksiomatiikkaan tutustumiskurssissa piti todistaa, että pisteitä ja suoria on olemassa peräti (tai ainakin) 21. No, löytyihän niitä kurssin edetessä sitten enemmänkin, mutta ihan kohtuullista ähellystä aiheutti tuo 21:nkin todistaminen, matemaattisesti. Kyllä aloittajalle reaalilukusäännöt aksioominakin aikanaan tulevat vastaan....