sanokaapas mitkä näistä kolmesta vaihtoehdosta on polynomeja
1) 2x 5 e
2) (2x 5 e)/3x
3) e
kertokaa myös perustelunne jos osaatte :D
lisätehtävä teille jotka osaatte matikkaa:
eli minkä takia tätä lauseketta ei voi jakaa tekijöihin ja supistaa kyseisellä tekijällä:
(x 4)^2 = (x-4)(x 4)
1) 2x 5 e
2) (2x 5 e)/3x
3) e
kertokaa myös perustelunne jos osaatte :D
lisätehtävä teille jotka osaatte matikkaa:
eli minkä takia tätä lauseketta ei voi jakaa tekijöihin ja supistaa kyseisellä tekijällä:
(x 4)^2 = (x-4)(x 4)
Vastaukset 23
Vanhimmat
Kannatta katsoa vaikkapa wikipediasta polynomin määritelmä, niin asia selkiää. 1) on selvästikin polynomi. 2) ei ole koska nimittäjässä on muuttuja. 3) ei käsittääkseni ole koska siinä ei esiinny muuttujaa.
Lausekkeen jako tekijöihin noin ei pidä paikkansa, voit tarkistaa vaikkapa antamalla x:lle arvon 4. (x 4)^2 = (x 4)(x 4)
väärin meni.
3) on polynomi sillä siinä ei esiinny muuttujaa nimittäjässä ja kyse on summalausekkeesta. tässäkin on muuttuja osuus joka on x^0 = 1 joka on kerrottu e:llä
ja siis "voit tarkistaa vaikkapa antamalla x:lle arvon 4. (x 4)^2 = (x 4)(x 4) " niin kyllä sekin pitää paikkansa koska (4 4) = (4 4)(4 4) = id. tosi
mutta kyse olikin miksi ylempää lauseketta mikä oli tehtävän annossa ei voi jakaa tekijöihin ja supistaa koska sekään vaihto ehto ei ole matemaattisesti väärin. kyllähän sen voi jakaa tekijöihin ja jakaa tekijä pois mutta tuolloin muuttujaosuuskin häviää samalla.
No tuo 3) on vähintäänkin tulkintatapaus. Tietysti voidaan esittää, että se on nollannen asteen polynomi e*x^0. Toisaalta se voisi olla e/x^0, jolloin se ei olisi polynomi. Huono tehtävä tuolta osin.
En ymmärrä mikä ongelma sinulla on tuon toisen kysymyksen kanssa. Alkuperäinen kysymys oli, onko (x 4)^2 = (x-4)(x 4). Itse totesin että ei vaan (x 4)^2 = (x 4)(x 4) ja voidaan tarkistaa esim. sijoittamalla x=4. Eli se vloidaan (triviaalisti) jakaa tekijöihin mutta ei niin kuin aloittaja esittää.
Joillakin on näköjään tarve olla aina eri mieltä, vaikka tosiasiallista erimielisyyttä ei ole.
Joudutaan määrittelyanarkiaan, jos hyväksytään sellaisten "piilomuuttujien" kuten x^0 huomioonotto. Silloin esim. vakiofunktio voidaan määritellä miksi tahansa funktiotyypiksi. Samoin, jos on funktio jossa polynomi on jaettuna polynomilla, se ei ole lähtökohtaisesti polynomi. Mutta jos lauseke sievenee niin että nimittäjä poistuu, siitä tuleekin polynomi. Siten, funktion tyyppi voidaan aidosti määrittää vasta kun kaikki sievennykset on tehty-
Toisaalta (2x 5 e)/3x on polynomi esimerkiksi renkaassa R[Y].
Kyse lienee koululaismatematiikasta, ei siellä eri nimitystermien kanssa askartelu ongelmia aiheuttane....
"Toisaalta se voisi olla e/x^0..."
ei voitaisi, sillä e/X^0 = e*(X^0)^(-1) = e*X^[0*(-1)] = e*X^0
Ideana tässä on, että algebrallisesti jakolasku ei ole laskutoimitus reaalilukujen joukossa, sillä se ei ole suljettu ( esimerkiksi 2/0 ei kuvaudu millekään yksiselitteiselle kolmannelle reaalialkiolle, vaikka 2 ja 0 kuuluvat reaalijoukkoon).
Siispä, tarkasti sanoen pitäisi sanoa, että esim.
(2x 5 e)/3x = (2x 5 e)*(3x)^(-1)
joka antaa jo paljon selkeämmän intuitiivisen kuvan siitä milloin jokin olio on polynomi:
jos "polynomilta näyttävä olio" (suonette anteeksi erittäin karkean kielikuvan, mutta tämä suomi24:n viestikirjoitusosio on sen verran köykänen, jotta sillä jaksaisi täsmällisiä matemaattisia määritelmiä paljoa kirjoittaa, joten oletan vain, että kaikilla on jonkinlainen suhteellisen tarkka intuitio siitä, miltä "polynomilta näyttävä olio" näyttää) sisältää "X:n negatiivisia potensseja" se ei välttämättä ole polynomi...
Jos se ei sisällä "X:n negatiivisia potensseja" ja se "näyttää polynomilta" se on polynomi.
Myöskin algebrallisesti täten on todellakin mielekästä puhua vakiopolynomeista (eli a*x^0, kun a on jokin vakio).
Wikipedia ei tietenkään ole absoluuttinen totuus, mutta jos katsotaan sen määritelmää: "Matematiikassa polynomi on lauseke, joka saadaan yhdestä tai useammasta muuttujasta ja vakioista yhteen-, vähennys- ja kertolaskulla, sekä positiiviseen kokonaislukueksponentin osoittamaan potenssiin korottamisella."
Eli sen mukaan vakio voisi olla polynomi vain, jos tuo muuttuja x^0 kirjoitetaan eksplisiittisesti mukaan siihen lausekkeeseen. Mutta tuossa puhutaan positiivisesta kokonaislukueksponentista, mitä x^0 ei täytä. Sitä paitsi vakiofunktio voi sopivasti valiten olla melkein mikä tahansa funktiotyyppi; esim trigonometrinen funktio: a*((sinx)^2 (cosx)^2). Eli kyllä katsoisin asian aika tulkinnanvaraiseksi.
Wikipedian määritelmä nyt on mitä on. Jos haluaa tietää, miten polynomit määritellään korkeammassa matematiikassa, niin kannattaa katsoa vaikkapa http://planetmath.org/PolynomialRing
supistaessahan jaetaan lausekkeella (x 4), ja jos tossa supistaa (x 4):lla, pitää sillä kohtaa ilmoittaa että x on oltava eri suuri kuin -4, ettei tule jaettua nollalla.
Sitten kun on supistanut sillä, huomaakin, että x 4=x-4, eli 4=-4, mikä on mahdotonta.
Sitten pitää katsoa mitä tulee jos ei supistakaan, ja siitä tulee 8x=-32, eli x=-4.
Nyt todetaan, ettei voida supistaa koska tulisi jaettua nollalla.
Ajatus: toimisiko myös niin, että voi supistaa tekijällä, mutta silloin täytyy varmistaa erikseen, sattuuko tuo tekijän nollakohta olemaan alkup.yhtälön ratkaisu. No, tässä tapauksessa sattuu, ja muita ratkaisuja tässä ei sitten olekaan.
Mulle on nyt epäselvää, mitä tässä tarkoitetaan supistamisella. Jos yhtälö saadaan vaikkapa seuraavaan muotoon:
f(x)*y(x) = g(x)*y(x), voidaan supistaa y(x) mutta silloin on muistettava, että y(x)=0 ratkaisut ovat myös alkuperäisen yhtälön ratkaisuja.
Jos puolestaan yhtälö saadaan muotoon:
f(x)*y(x)/g(x)*y(x) = 0, voidaan supistaa y(x), mutta silloin on muistettava, että kohdassa y(x)=0 lauseke ei ole määritelty (sillä on korkeintaan raja-arvo).
On myös huomattava, että yhtälö f(x)*y(x) = g(x)*y(x) voitaisiin kirjoittaa muotoon f(x)*y(x)/g(x)*y(x) = 1. Tällöin näyttäisi, ettei yhtälö ole määritelty kohdassa y(0)=0. Mutta ratkaiseva on alkuperäinen yhtälö ja y(0)=0 on sen ratkaisu. Kun yhtälö muokattiin, se jaettiin puolittain ja tuossa kohdassa nollalla, mikä on laiton toimenpide.
Mikä tämän kommentin pointti tai mitä huomattavaa uutta tässä on? Mainitsemaasi muotoonhan ...=1 pääset omien sanojesi mukaan vain "laittoman toimenpiteen" kautta: jakamalla yhtälöä puolittain x:ää sisältävillä tekijöillä. Jos teet sen noin vain huitaisten, asiaan mahdollisesti sisältyvät sudenkuopat saavat vain uusia muotoja ja/tai kertautuvat.
Yritin vain kiinnittää huomiota siihen, että jos meillä on kaksi yhtälöä:
f(x)*y(x) = g(x)*y(x) ja f(x)*y(x)/g(x)*y(x) = 1. Ne ovat pientä muokkaamista vailla ekvivalentit. Kuitenkin aluksi pitäisi selvittää yhtälöiden määrittelyalueet ja jälkimmäisessä näyttäisi siltä, että kohdissa y(x)=0 se ei ole määritelty. Onko siis yhtälöillä samat ratkaisut?
Taisin edelleenkin ilmaista itseni epäselvästi. Yksinkertaisen esimerkin valossa, asiani on seuraavanlainen: on vaikkapa yhtälö (x 1)^2/(x^2-1) = 1. Jos laskija ei huomaa, että osoittajalla ja nimittäjällä on yhteinen tekijä, hän saattaa aluksi todeta, että kohdissa x=1 tai x=-1 nimittäjä on 0, joten vasemmanpuoleinen lauseke ei ole silloin määritelty. Kun hän ratkaisee yhtälön, ainoaksi ratkaisuksi tulee x=-1, jonka hän saattaa hylätä. Hänen pitäisi kuitenkin palata vasemmanpuoleiseen lausekkeeseen ja huomata silloin, että x 1 on yhteinen tekijä joka supistuu, jolloin x=-1 on sittenkin ratkaisu.
Mahtaako tuo -1 olla sittenkään ratkaisu: piirräpäs ajankuluksesi jollain kalkulaattorilla (tai ilmankin) esimerkkiyhtälösi vasemman puolen graafinen kuvaaja, ja missä se leikkaisi yhdessäkään kohtaa suoran y=1 ?
Näin vaan päältä katsoen näyttää, tarkista ja kommentoi tarvittaessa
Joo, oot oikeassa. Pitäisi pyöritellä paperilla eikä päissään.
Jep, ja muutenkaan havainnollistamisesi ei ollut looginen: mainitsit että
"x 1 on yhteinen tekijä joka supistuu"
silloinhan ketjun aiheen mukaan ollaan vaarassa *menettää* ratkaisu, eikä olla saamassa niitä (ehdokkaita) lisää.
Eli malliin: "jolloin x=-1 on sittenkin ratkaisu." ei voi mennä.
Joo, vähän kinkkinen. Itse menin harhaan, kun ajattelin seuraavasti. Alkuperäinen yhtälö on (x 1)^2/(x^2-1) = 1. Näyttäisi että ei ole määritelty kun x=-1. Mutta koska osoittajassa ja nimittäjässä on identtinen tekijä (x 1), voidaan supistaa ja saadaan (x 1)/(x-1)=1. Nyt nimittäjä ei enää olekaan 0, kun x=-1 joten näyttäisi olevan määritelty. Jos tuota muotoa prosessoidaan, todetaan että ratkaisua ei löydy. Jos sen sijaan kerrotaan alkuperäisessä yhtälössä ristiin, saadaan (x 1)^2 = x^2-1. Kun x^2 termi häviää, saadaan 2x 2=0 eli x=-1 näyttäisi olevan ratkaisu.
Esimerkkisi sattuu olemaan siinä hyvä, että se laajentaa aloittajan tuota aloittajan pointtia. Kun tässä x:ää sisältäviä tekijöitä ns.kerrotaan ristiin, niin sivuefekti on toisen suuntainen: operaatio tuo tarjolle ratkaisuehdokkaan, vaikka se ei oikeasti sitä sitten ole. Aloittajan "supistus"esimerkissähän saatettiin hukata oikea ratkaisu.
Hyvä esimerkki myös siinä, että esittäjä sekoaa sen kanssa yhtä lailla kuin muutkin :) Voit muuten miettiä graafista kuvaajaa supistamattomasta versiosta, ja kiinnittää erityisesti huomiota kohtaan x = -1.
eka lauseessa yksi "aloittajan" -sana liikaa....
Joo, tekijöihin voi jakaa huoletta, mutta supistaminen on tavallaan väärä termi, koska kyse on yhtälön kertomisesta tai jakamisesta puolittain jollain tekijällä.
Itse asiassa aloittajan mainitsema yhtälö tulisi ratkaista seuraavasti:
(x 4)(x 4) = (x-4)(x 4)
(x 4)(x 4) - (x-4)(x 4) =0
(x 4)[x 4 - (x-4)] = 0
(x 4)(x 4-x 4) = 0
(x 4)*8 = 0
Tulos on nolla jos jokin tulontekijä on nolla. Tässä on vielä se erikoisuus, että toisesta tulontekijästä muuttuja häviää, jolloin jäljelle jää vain yksi ratkaisu
x=-4. Tuollainen käytännön oikotie, "supistaminen", johtaa helposti harhaan, jos koko yhtälön ratkaisu ja tuon "supistajan" nollakohta osuu samaan arvoon (kuten monesti tapahtunee), ts. jokin juuri jää huomaamatta.
Nimimerkin "3 10" toinen tapaus taitaa olla samanoloinen, mutta peilikuvana äskeisestä; rationaalilausekkeen tuntematonta sisältävän nimittäjän poistaminen tai "pienentäminen" puolittain kertomalla saattaa aiheuttaa juuriehdokkaita, jotka oikeasti eivät sitten juuria olekaan. Taidanpa jättää asian todentamisen nimimerkin itsensä tehtäväksi :)