Loton todennäköisyys nopilla

Osaako kukaan sanoa?

Simuloimalla (n= 100 000 000) sain tällaista:

0 oikein: 0.0016
1 oikein: 0.0196
2 oikein: 0.0982
3 oikein: 0.253
4 oikein: 0.3439
5 oikein: 0.225
6 oikein: 0.0554
7 oikein: 0.0028

Uskaltaisin väittää noiden desimaalien olevan oikein, mutta en jaksa nyt ruveta miettimään mitään tilastollisia hommia tai laskemaan tuota tarkkaa arvoa...

Onko tää kotitehtävä vai miksi kysyt?

Rivien määrän voi laskea niin, että luettelee ne järjestettyinä esim jos olisi kolme merkkiä 1,2 ja 3 ja sananpituus (eli rivin pituus) 3:

111, 112, 113, 122, 123, 133,
222, 223, 233,
333

Jos merkitään J(m, k):lla k: merkin (joilla järjestys) m:n pituisten sanojen lukumäärää, niin huomataan seuraava rekursiokaava:

J(m, 1) = 1
J(1, k) = k
J(m, k) = J(m-1, k) J(m-1, k-1) ... J(m-1, 1)

(Tämän näkee siitä, kun ensimmäinen merkki sanassa saa olla mikä vain; lasketaan sitten jokaiselle aloitusmerkille tällaisten sanojen lkm erikseen. Siellä perässä on sitten (m-1) pituinen sana, jossa saa olla vain aloitusmerkkiä suurempia merkkejä.)


Tästä näkee muuten helposti, että

J(m, k) = (m k-1)C(m).

(Tähän kaavaan olisi varmaan ollut joku suorempikin päättely)

Nyt voidaan laskea 1.:ssä haluttu J(7,6) = 1716.


Tuohon kakkoskohtaan en osaa vastata muuta kuin nuo simuloimalla saadut luvut. Toiset rivithän ovat todennäköisempiä kuin toiset ja kun aluksi arvotaan satunnaisesti rivi, niin se menee kyllä aika sekavaksi mielestäni...

Helpoimmin tähän pääsee ehkä tarttumaan laajentamalla sopivaa ohjelmaa käyttäen karakteristisen polynomin
(x1 x2 x3 x4 x5 x6)^7

Laajennetun polynomin kukin termi vastaa yhtä mahdollista 'lottoriviä'.

Muuttujien x1,x2,x3,x4,x5 ja x6 eksponentit kertovat, montako kertaa kukin nopan silmäluku esiintyy ko. rivissä.

Termin kerroin kertoo sen, monellako tavalla rivi voi muodostua.

Termien lukumääräksi tulee 792, joka on siis erilaisten 'lottorivien' kokonaismäärä.

Jakamalla termin kerroin erilaisten nopanheiton tulosten lukumäärällä 6^7 saadaan ko. rivin todennäköisyys.

Esim. täysosuman saaminen edellyttää, että saadaan ensin jokin rivi ja sitten uudelleen arvottaessa sama rivi. Täysosuman todennäköisyys saadaan siten laskemalla yhteen kaikkien eri 'lottorivien' todennäköisyyksien neliöt.

Myös tulosten k oikein, missä k on pienempi kuin 7, todennäköisyyksien laskeminen onnistuu suhteellisen helposti pienen tietokoneohjelman avulla.

Ja tässä malliksi tätä laajennettua karakteristista polynomia:
x1^7 7*x1^6*x2 7*x1^6*x3 7*x1^6*x4 7*x1^6*x5 7*x1^6*x6 21*x1^5*x2^2
42*x1^5*x2*x3 42*x1^5*x2*x4 42*x1^5*x2*x5 42*x1^5*x2*x6 21*x1^5*x3^2
42*x1^5*x3*x4 42*x1^5*x3*x5 42*x1^5*x3*x6 21*x1^5*x4^2 42*x1^5*x4*x5
42*x1^5*x4*x6 21*x1^5*x5^2
...
42*x4*x5^5*x6 105*x4*x5^4*x6^2 140*x4*x5^3*x6^3 105*x4*x5^2*x6^4
42*x4*x5*x6^5 7*x4*x6^6 x5^7 7*x5^6*x6 21*x5^5*x6^2 35*x5^4*x6^3
35*x5^3*x6^4 21*x5^2*x6^5 7*x5*x6^6 x6^7