Kevään 2012 pitkän matematiikan ylioppilaskirjoituksissa oli seuraava tehtävä:
Ringette-joukkueen kolmen hyökkääjän todennäköisyydet tehdä maali rangaistuslaukauksella ovat 65%, 75% ja 54%. Kukin kolmesta hyökkääjästä saa yhden yrityksen.
a) Millä todennäköisyydellä ainakin yksi hyökkääjä tekee maalin?
b) Laske rangaistuslaukausmaalien lukumäärän odotusarvo.
Miten ratkaisisitte tehtävän, jos ratkaisussa ei tarvitsisi sitoutua pelkkään lukion matematiikkaan?
Miten arvelisitte yo-tutkintolautakunnan näihin ratkaisuihin suhtautuvan?
Ringette-joukkueen kolmen hyökkääjän todennäköisyydet tehdä maali rangaistuslaukauksella ovat 65%, 75% ja 54%. Kukin kolmesta hyökkääjästä saa yhden yrityksen.
a) Millä todennäköisyydellä ainakin yksi hyökkääjä tekee maalin?
b) Laske rangaistuslaukausmaalien lukumäärän odotusarvo.
Miten ratkaisisitte tehtävän, jos ratkaisussa ei tarvitsisi sitoutua pelkkään lukion matematiikkaan?
Miten arvelisitte yo-tutkintolautakunnan näihin ratkaisuihin suhtautuvan?
Vastaukset 5
Vanhimmat
a)
Jos pelaajien suoritukset ovat toisistaan riippumattomia, niin silloin
Pr(kukaan ei tee maalia) = (1 - 0.65) * (1 - 0.75) * (1 - 0.54) .
Pr(ainakin 1 tekee maalin) = 1 - edellinen luku..
b)
Jos pelaaja tekaa maalin todennäköisyydellä p, niin hänen maalimääränsä odotusarvo on p.
Odotusarvojen summa p1 p2 p3 on maalien kokonaismäärän odotusarvo.
Tuo b)-kohdan vastaus taitaa mennä yli lukion kurssin. Peräkkäisten satunnaiskokeiden odotusarvojen yhteenlasku ei taida kurssiin kuulua.
Jos satunnaismuuttujille X,X_1,X_2,...,X_n pätee X=X_1 X_2 ... X_n,
niin E(X)=E(X_1) E(X_2) ... E(X_n). Tämä on hyvin perustavaa laatua oleva todennäköisyyslaskennan tulos, mutta sitä ei löydy edes MAOLin taulukkokirjasta. Myöskään ylioppilaskokeen malliratkaisuissa sitä ei käytetty, vaan selvitettiin ensin maalien kokonaismäärän jakauma.
"Tuo b)-kohdan vastaus taitaa mennä yli lukion kurssin"
Lyhyen perustelun kanssa b-kohdasta kylläkin sai täydet pisteet tuolla tavalla.
0,65 0,75 0,54 = 1,94
Nuo ratkaisuthan ovat matemaattisesti erittäin yksinkertaisia: murtolukujen yhteen-, vähennys- ja kertolaskua. Miksi tarvittaisiin lukion matematiikan ulkopuolisia menetelmiä?
Eihän niitä tarvita, mutta esim. symbolisten laskimien käytön helppous voisi houkutella käyttämään karakteristista polynomia
p(x)=(0.35 0.65x)(0.25 0.75x)(0.46 0.54x)
=0.04025 0.24275x 0.45375x^2 0.26325x^3,
jonka derivaatta on
p'(x)=0.24275 0.9075x 0.78975x^2
Tehtävän ratkaisut ovat nyt
a) P(X>0)=1-p(0)=0.95975 ja
b) E(x)=p'(1)=1.94
Karakteristisen polynomin kirjoittamisen jälkeen ratkaisut saadaan siis laskimesta muutamalla napin painalluksella.
Ja näin on mahdollista ratkaista paljon mutkikkaampiakin tämän tyyppisiä tehtäviä, jotka käsin laskettaessa olivat huomattavan työläistä tehtäviä.
Epäilisin kuitenkin tämän tyyppisen ratkaisun tuottavan ylioppilaslautakunnalle päänvaivaa arvostelun suhteen.