y' sin(x)*y=x^(1/3)
Kuinka tämä diff. yhtälö ratkaistaan?
rettertwara
10197
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Turvaa tilisi vahvistamalla puhelinnumerosi. Voit silloin palauttaa unohtuneen salasanan tekstiviestillä.
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 10
Vanhimmat
Näyttäisi vähän, että pitäisi integroida x^1/3 * exp(-cosx) mikä ei taida onnistua alkeisfunktioilla.
Juuri tämä olikin ongelma. Onko siis niin, että yhtälöä ei vain voi ratkaista symbolisesti?
Näin väittää wolfram alpha http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate x^(1/3)*exp(-cosx)
Tere!
Mikäli haluat ratkaista yhtälön nollan ympäristössä, käytä yritteenä pisteessä x = 0 kehitettyä formaalia potenssisarjaa. Tosin Cauchyn tulosarjan muodostaminen lienee hankalaa, koska sin(x) on myös esitettävä potenssisarjana (MacClaurinin sarjana). Mikäli kaikki menee hyvin, saat rekursiokaavan yritesarjan kertoimille ja asia on selvä. Tosin puuha lienee työlästä; antoisaa, tosin
dy/dx sin(x)*y = x^(1/3)
Integroidaan:
Integral (dy/dx sin(x)*y) * dx = Integral (x^1/3) dx
Eli eihän tuossa muuta ongelmaa ole kuin Integral (sin(x)*y) dx
Mutta siis sehän menee sillä osittaisintegraalin kaavalla, että:
Eli u'(x) = sin(x) ja v(x) = y...
=> u*v Integral(u*v')
y*Integral(sin(x) * dx) Integral(Integral(sin(x)*dx dy/dx)
y*(- cos x C1) Integral((-cos(x) C2) * dx) y C3
y*-cos x C1*y -sin x C2*x y C3 = 1/(1/3 1)*x^(4/3) C4
C3:n ja C3:n voi yhdistää... jne...
Jos tästä ei ollut apua, korjatkaa toki...
Eli u'(x) = sin(x) ja v(x) = y...
=> u*v Integral(u*v')
Toihan meni ihan "käteen"... Ei plus vaan kerto ja vasen puoli...
y C0 y*Integral(sin(x) * dx) Integral(Integral(sin(x)*dx * dy/dx)
y C0 y*(- cos x C1) Integral((-cos(x) C2) * dy/dx* dx)
y y*-cos x C1*y Integral((-cos x C2*x) * dy/dx)*dx)
y -cosx*y C1*y Integral(dy*(-cos x)/dx dy*C2/dx)*dx
Eli tuosta integraalista jää osa:
Integral (-cos x*dy) = y*-cosx C ?
Ja sitten on pelkkää yytä enää siellä?
Käsittääkseni noin voi integroida, kun enää yksi kohde on jäljellä, ja muuttuja on eri kuin integroidessa, jolloin se termi käyttäytyy kuin vakio?
Jos tästäkään ei ollut apua, korjatkaa toki...
Laitetaan nyt se kunnollinen ratkaisu, niin minua ei syytetä:
dy/dx sin(x)*y = x^(1/3) | integral dx
y C0 y*Integral(sin(x) * dx) Integral(Integral(sin(x)*dx * dy/dx)
y C0 y*(- cos x C1) Integral((-cos(x) C2) * dy/dx* dx)
y y*-cos x C1*y Integral((-cos x C2)* dy/dx)*dx)
y -cosx*y C1*y Integral(-cos x)*dy Integral(C2*dy) = 3/4*x^(4/3) C3
y - y*cos x C1*y -cos x*y C2*y C3 = 3/4*x^(4/3)
C1 ja C2 yhdistetään C1:ksi
y = (3/4*x^(4/3) C3)/(1-cos x C1 - cos x)
y = (3/4*x^(4/3) C3)/(1 - 2*cos X C1)
Eli jos yhtälössä oli alkuarvoja, C1 ja C3 kalibroituvat niillä....
Oliko vastaus tämä, jos sinulla oli siellä mallivastauskin?
Oletko tarkistanut sijoittamalla? Minä en saanut siten oikeaa vastausta.
Tarkastellaan yhtälöä:
y*exp(-cosx) = int(x^(1/3)*exp(-cosx)*dx)
Integroidaan:
y'*exp(-cosx) y*sinx*exp(-cosx) = x^(1/3)*exp(-cosx)
Mistä saadaan alkuperäinen differentiaaliyhtälö.
Eli tois e^-cosx voidaan tuossa jakaa pois?
No, liekö sitten oikein tai ei, mutta tuleeko siitä integroituna todella tuo, vaikea nähdä, koska jos integroidaan x:n suhteen y*e^(-cos x) niin mitä siitä tulee?
Mun mielestä pitää saada PALJAAKSI integrointi siten, että sinne ei jää esim. yytä x:n kanssa, jolloin voidaan käsitellä jäljelle jäänyttä x:n funktiota, kuten vakiokerrointa, jos siellä ei ole enää yytä kertomena, mutta voi olla että olen väärässä, en tiedä....
Tosta nyt silti näkee, että sinne voi tulla niin paljon vakiokertoimia, että ainakin kahden alkuarvon kanssa ne saadaan toteutumaan milloin tahansa, eli vasta KOLMAS alkuarvo paljastaisi, menikö integrointi tai siis tuo diffis oikein....
Ei sitä exp(-cosx) voi jakaa pois lähtöyhtälöstä koska se on integraalin sisällä, viimeisestä yhtälöstä tietysti voidaan, jolloin saadaan alkuperäinen differentiaaliyhtälö. Ratkaisu on siis:
y = int(x^(1/3)*exp(-cosx)*dx)/exp(-cosx)
Mikä ei ratkea alakeisfunktioioden avulla.