Todennäköisyyslaskennalla on runsaasti sovelluksia mm. luonnontieteissä, tilastotieteessä, tietojenkäsittelyssä ja muilla matematiikan aloilla. Luonnontieteen sovelluksista tunnetuimmat lienevät tilastollinen fysiikka, kvanttimekaniikka ja perinnöllisyystiede. Mikään näistä sovelluksista ei kuitenkaan sisällä satunnaisuutta naiivissa, maallikolle tutussa muodossa.
Ideaalikaasujen teoriassa satunnaisuus on lähinnä työkalu, jonka avulla voidaan johtaa yhtälöitä makroskooppisille suureille (lämpötila yms.), jotka saadaan tilastollisina keskiarvoina yksittäisten molekyylien käyttäytymisestä. Se, ovatko hiukkasten törmäykset todella deterministisiä vai satunnaisia, on epäoleellista, koska erot tasaantuvat makrotason laskuissa. Kvanttimekaniikassa satunnaisuus näyttää olevan perustavanlaatuista, mutta teorian ennusteet koskevat hiukkasmaailman ilmiöitä. Yksinkertaisimmissa risteytyskokeissa todennäköisyyslaskenta on sellaisenaan helppoa. Sen sijaan satunnaisuuden havaitseminen vaatii kokeita ja tilastokirjanpitoa.
Todennäköisyyslaskennan kehityskaari poikkeaa geometrian ja siitä syntyneen differentiaali- ja intergraalilaskennan kehityksestä, sillä merkittäviä todennäköisyyslaskentaan liittyviä ajatuksia esitettiin vasta uuden ajan alussa, 1500-luvulla. Mahdollisesti yksi syy tähän on se, että satunnaisuus on käsitteellisempää ja harvemmin suoraan havaintoon vetoavaa kuin geometria. Ajatelkoon vaikka lehden putoamista puusta. Naiivi havainto tästä ilmiöstä on se, että lehden liikerata ei ole ennustettavissa ja lopputulos on mielivaltainen. Tarkemmat havainnot osoittavat, että tietyt lopputulokset ovat tyypillisempiä kuin toiset. Lehden putoamisen kuvailu satunnaisilmiönä vaatii kuitenkin käsitteellistä harppausta, siis sitä, että eri vaihtoehdoille asetetaan erilaisia painoja, todennäköisyyksiä.
Todennäköisyyskäsitteen synty tuntuu siis edellyttäneen sellaista pelkistettyä asiayhteyttä, jossa ilmiöiden satunnaisuus on helposti havaittavissa ja todennäköisyydet laskettavissa. Tähän tarkoitukseen sopivat erinomaisesti erilaiset pelit. Nykymuotoinen arpakuutio on tunnettu runsaat 3000 vuotta, ja noppapelien tapaisia pelejä on pelattu vielä tuhansia vuosia kauemmin. Sen sijaan korttipelit ovat kehittyneet Euroopassa vasta shakin kanssa rinnan uudella ajalla.
Noppapelit ovat siis ikivanhoja pelejä, ja siksi on yllättävää, etteivät kreikkalaiset pyrkineet kehittämään niille matemaattista teoriaa. Ilmeisesti maailmankuvaan ja jopa -katsomukseen liittyvät seikat ovat työntäneet todennäköisyyden löytymistä myöhempään ajankohtaan; onhan satunnaista ilmiötä mahdotonta erottaa ilmiöstä, jonka syyt ovat tuntemattomat. Kreikkalaisia ja keskiajan ihmisiä on siten voinut vaivata samantyyppinen esto kuin Albert Einsteinia, joka kieltäytyi hyväksymästä modernin kvanttimekaniikan perusperiaatteita, koska hänen mielestään Jumala ei pelannut arpapelejä (eli satunnaisuus ei voinut olla todellista).
1500- ja 1600-luvuilla aika oli vihdoin otollinen todennäköisyyslaskennalle: onnenpelit olivat aivan yhtä suosittuja kuin nykyään, vakuutustoiminta oli ryhtynyt kehittymään 1300-luvulta lähtien, ja valtioiden tehostunut hallinto tuotti erilaisia tilastoja. Lisäksi vallitsi Francis Baconin viitoittama henki, joka korosti kokeellisten havaintojen merkitystä ja tieteen mahdollisuuksia.
Italialainen Girolamo Gardano oli ensimmäisiä, joka tarttui tilaisuuteen. Tämä milanolaisen lakimiehen avioton lapsi joutui jatkuvasti kahnauksiin aikalaistensa kanssa pikemminkin terävän kielensä kuin syntyperänsä takia. Hän oli koulutukseltaan lääkäri, mutta jälkipolvet muistavat lähinnä hänen matemaattisen (kuten Gardanon kaavat) ja teknisen panoksensa (kuten kardaaniakselin). Hänen mieltymyksensä uhkapeleihin kehittyi ilmeiseksi pelihimoksi, mihin liittyvät kokemukset hän keräsi kirjaksi Liber de Ludo Aleae. Tässä värikkäästi kirjoitetussa kirjassa kuvataan monenlaisten käytännöllisten neuvojen lomassa myös uhkapelien matemaattista luonnetta.
Ideaalikaasujen teoriassa satunnaisuus on lähinnä työkalu, jonka avulla voidaan johtaa yhtälöitä makroskooppisille suureille (lämpötila yms.), jotka saadaan tilastollisina keskiarvoina yksittäisten molekyylien käyttäytymisestä. Se, ovatko hiukkasten törmäykset todella deterministisiä vai satunnaisia, on epäoleellista, koska erot tasaantuvat makrotason laskuissa. Kvanttimekaniikassa satunnaisuus näyttää olevan perustavanlaatuista, mutta teorian ennusteet koskevat hiukkasmaailman ilmiöitä. Yksinkertaisimmissa risteytyskokeissa todennäköisyyslaskenta on sellaisenaan helppoa. Sen sijaan satunnaisuuden havaitseminen vaatii kokeita ja tilastokirjanpitoa.
Todennäköisyyslaskennan kehityskaari poikkeaa geometrian ja siitä syntyneen differentiaali- ja intergraalilaskennan kehityksestä, sillä merkittäviä todennäköisyyslaskentaan liittyviä ajatuksia esitettiin vasta uuden ajan alussa, 1500-luvulla. Mahdollisesti yksi syy tähän on se, että satunnaisuus on käsitteellisempää ja harvemmin suoraan havaintoon vetoavaa kuin geometria. Ajatelkoon vaikka lehden putoamista puusta. Naiivi havainto tästä ilmiöstä on se, että lehden liikerata ei ole ennustettavissa ja lopputulos on mielivaltainen. Tarkemmat havainnot osoittavat, että tietyt lopputulokset ovat tyypillisempiä kuin toiset. Lehden putoamisen kuvailu satunnaisilmiönä vaatii kuitenkin käsitteellistä harppausta, siis sitä, että eri vaihtoehdoille asetetaan erilaisia painoja, todennäköisyyksiä.
Todennäköisyyskäsitteen synty tuntuu siis edellyttäneen sellaista pelkistettyä asiayhteyttä, jossa ilmiöiden satunnaisuus on helposti havaittavissa ja todennäköisyydet laskettavissa. Tähän tarkoitukseen sopivat erinomaisesti erilaiset pelit. Nykymuotoinen arpakuutio on tunnettu runsaat 3000 vuotta, ja noppapelien tapaisia pelejä on pelattu vielä tuhansia vuosia kauemmin. Sen sijaan korttipelit ovat kehittyneet Euroopassa vasta shakin kanssa rinnan uudella ajalla.
Noppapelit ovat siis ikivanhoja pelejä, ja siksi on yllättävää, etteivät kreikkalaiset pyrkineet kehittämään niille matemaattista teoriaa. Ilmeisesti maailmankuvaan ja jopa -katsomukseen liittyvät seikat ovat työntäneet todennäköisyyden löytymistä myöhempään ajankohtaan; onhan satunnaista ilmiötä mahdotonta erottaa ilmiöstä, jonka syyt ovat tuntemattomat. Kreikkalaisia ja keskiajan ihmisiä on siten voinut vaivata samantyyppinen esto kuin Albert Einsteinia, joka kieltäytyi hyväksymästä modernin kvanttimekaniikan perusperiaatteita, koska hänen mielestään Jumala ei pelannut arpapelejä (eli satunnaisuus ei voinut olla todellista).
1500- ja 1600-luvuilla aika oli vihdoin otollinen todennäköisyyslaskennalle: onnenpelit olivat aivan yhtä suosittuja kuin nykyään, vakuutustoiminta oli ryhtynyt kehittymään 1300-luvulta lähtien, ja valtioiden tehostunut hallinto tuotti erilaisia tilastoja. Lisäksi vallitsi Francis Baconin viitoittama henki, joka korosti kokeellisten havaintojen merkitystä ja tieteen mahdollisuuksia.
Italialainen Girolamo Gardano oli ensimmäisiä, joka tarttui tilaisuuteen. Tämä milanolaisen lakimiehen avioton lapsi joutui jatkuvasti kahnauksiin aikalaistensa kanssa pikemminkin terävän kielensä kuin syntyperänsä takia. Hän oli koulutukseltaan lääkäri, mutta jälkipolvet muistavat lähinnä hänen matemaattisen (kuten Gardanon kaavat) ja teknisen panoksensa (kuten kardaaniakselin). Hänen mieltymyksensä uhkapeleihin kehittyi ilmeiseksi pelihimoksi, mihin liittyvät kokemukset hän keräsi kirjaksi Liber de Ludo Aleae. Tässä värikkäästi kirjoitetussa kirjassa kuvataan monenlaisten käytännöllisten neuvojen lomassa myös uhkapelien matemaattista luonnetta.
Vastaukset 6
Vanhimmat
Cardano tarkasteli kirjassaan mm. useamman nopan heittämiseen liittyviä kysymyksiä, kuten millä todennäköisyydellä kahden heiton summa on 6 tai millä todennäköisyydellä kolmesta silmäluvusta pienin on 1.
Hän tarttui myös aikansa keskeiseen ongelmaan: miten voitosta tarjolla oleva palkinto pitää jakaa, jos peli yllättäen joudutaan keskeyttämään. Tämä ongelma tunnettiin jo 1400-luvulla. Seuraavan esimerkin kysymys on tätä muotoa: Viisieräinen tennisottelu päättyy tilanteessa 1-0, ja ottelijoiden oletetaan olevan tasavahvoja. Millä Todennäköisyydellä johdolla ollut voittaa? Cardano oivalsi, että tällaisen kysymyksen ratkaisussa oleellinen asia on se, kuinka monta erää ottelijoitlta puuttuu voitosta, eikä se, kuinka monta erää he jo ovat voittaneet. Lisäksi hän ymmärsi, että todennäköisyyden voi laskea palauttamalla sen yksinkertaisempiin ongelmiin eli tarkastelemalla ensin tapauksia 2-0 ja 1-1. Näistä oikeista lähtökohdistaan huolimatta Cardano epäonnistui ongelman ratkaisussa, koska hän teki virheen yleistäessään lausekkeita liian suoraviivaisesti.
Ranskalaiset Blaise Pascal ja Pierre de Fermat kävivät keskenään vuosina 1654-1663 kirjeenvaihdon, joka oli todennäköisyyslaskennan kannalta käänteentekevä. Kirjeenvaihdon kipinänä näyttää olleen ritari de Mèrèn noppapelistä esittämät kysymykset, mutta Pascal ja Fermat menivät ajatustenvaihdossaan paljon näiden ratkomista pidemmälle. He tutustuivat yleisesti noppapelien kaltaisiin toistokokeisiin ja löysivät binomijakauman. Pascal kehitti systemaattisesti binomikertoimiin liittyvää teoriaa, jonka vuoksi näistä muodostettua kolmiota kutsutaan Pascalin kolmioksi. Edellä esitettyyn keskeytyneiden pelien ongelmaan kirjeenvaihdossa kumpikin esitti oman ratkaisunsa. Pascal näytti, miten jo Cardanon hahmottelema todennäköisyyksille saatava palautuskaava p(i,j)=(p/2)(i-1,j) (p/2)(i,j-1) ratkaistaan. Tässä p(i,j) on todennäköisyys, että ensimmäinen pelaaja voittaa ottelun, kun hänen on vielä voitettava i erää ja toisen on voitettava j erää. Fermatin ratkaisu taas merkitsi edellä mainitussa tennisottelussa sitä, että kaikki (myös tarpeettomat) viisi erää kuvitellaan pelattaviksi ja todennäköisyydet lasketaan binomijakaumasta.
Todennäköisyyslaskennan tutkimus pääsi vauhtiin 1600- ja 1700-luvuilla. Kehitystä joudutti se, että luonnontieteellisestä tutkimuksesta ja väestökirjanpidosta syntyvien tilastojen käsittely vaatii todennäköisyyden teoriaa. Esimerkiksi henkivakuutuksien hinnoittelu on tilastollinen ja todennäköisyyslaskennallinen ongelma. Kun satunnaisuutta ymmärrettiin paremmin, sovelluksetkin alkoivat ulottua syvemmälle. Johann Carl Friefrich Gaussin kellokäyrä eli normaalijakauman tiheysfunktio on ikuistettu viimeiseksi jääneeseen 10 Saksan markan seteliin. Ludwig Boltzmann kehitti ideaalikaasujen teoriaa, jossa kaasumolekyylin nopeuskomponentit ovat satunnaisia ja normaalijakautuneita.
1900-luvulle tultaessa todennäköisyyslaskenta eli stokastiikka oli siis kehittynyt pitkälle, mutta siltä puuttui vankka perusta. Vihdoin 1929 Andrei Nikolajevits Kolmogorov esitti todennäköisyysavaruuden aksioomat, jotka selittävät todennäköisyyden mittateoreettisesti. Integrointiteoria on toinen mittateorian keskeisimmistä sovelluksista.
"todennäköisyyslaskenta eli stokastiikka"
Nämä eivät ole synonyymejä...
Hieno tarinointia, vaikkakin esimerkiksi Laplace jäi tarinasta pois. Ja toki integrointiteoria (Lebesgue) perusmuodossaan oli olemassa jo satoja vuosia ennen mittateoreettista formulointia Newtonin ja kumppaneiden kehittelemänä.
Aha. Kiitti kun kerroit.
Ei ainakaan tilastotiede hirvittävästi käytännössä hyödy todennäköisyyslaskennasta. Perinteinen otantateoreettinen formalismi eli nk. frekventistinen formalismi todennäköisyydelle antaa pääsääntöisesti vastauksia vääriin kysymyksiin.
Käytetyin tilastollinen menetelmä eli uskottavuusestimointi ei itse asiassa edes hyödynnä todennäköisyyden käsittettä.
Todennköisyyslaskennalle on teoreettisia perusteita, mutta käytännön työssä ei tilastotieteilijä juurikaan tarvitse todennäköisyyslaskentaa.
En tiedä miten on esim. fysiikassa tilanne.
No huh-huh! Minkähänlaista tlaistotiedettä harrastanet? Kyllä koko tilastotiede on todennäköisyyslaskentaa viime kädessä!
Jos viittaat "uskottavuusestimoinnilla" maximum likelihoodiin, niin totta kai se on tn-laskentaa. Mutta ei varmasti ole käytetyin edes teoreettisella tasolla, saati käytännön sovelluksissa.
Ei uskottavuusfunktiolla ole todennäköisyyden kanssa mitään tekemistä. ML-estimoinnissa on kyse käsillä olevan datan "degree of plausibilitystä", ei mistään muusta.
Insinööritieteet, jossa tilastotieteen lähes kaikki merkittävimmät innovaatiot ovat tapahtuneet viimeisen n. 40 vuoden aikana, käyttää paljon ML-estimointia. Eli ei se pelkkää teoriaa ole. Ja esiintyy sitä myös perinteisen yliopiston tilastotieteen menetelmissä aika paljon.
Perinteinen testiteoria esim. regressioanalyysissä nojaa Neyman-Pearsoniin, jolla ei käytännössä ole mitään tekemistä sen todennköisyyden kanssa, johon etsimme vastausta esim. teknis-taloudellisissa kysymyksissä. Ko. tilanteet ovat ainutkertaisia eikä toistokoefrekvenssi kerro todellisesta epävarmuudesta mitään. Siksi nykyään käytetäänkin paljon bayesiläistä estimointia,mutta tämäkin on käytännössä ongelmallinen.
Oli niin tai näin, niin todellisessa käytännön mallintamisessa on paljon tärkempiä asioita kuin satunnaisuutta mittaavat eri käsitteet, systemaattinen osa on se tärkein, joka tulee estimoida tarkasti ja huomio kiinnittää ensisijaisesti siihen. Sillä jos malli on väärin spefisioitu, niin mikään epävarmuuteen liittyvä analyysi ei ole luotettavaa. Tämä edellyttää normaalisti oppivien eli joustavien menetelmien käyttöä.