Derivaatta ja differentiaali – mitä eroa?

ıhmettelıjä

Hei, rupesin tässä miettimään, että mitähän eroa derivaatalla ja differentiaalilla on. Onko derivaatta dy/dx vain kahden differentiaalin dy ja dx osamäärä?

15

4386

Äänestä

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • 5+2

      Wikipediassa on määritelmä:

      "Differentiaaliyhtälöllä tarkoitetaan matematiikassa yhtälöä, jossa esiintyy tuntematon yhden tai useamman muuttujan funktio sekä sen derivaattoja."

      http://fi.wikipedia.org/wiki/Differentiaaliyhtälö

    • 17+1

      Aloitetaan vaikka tällä: Miten sinä määrittelet differentiaalin?

      Varmuuden vuoksi: Kyseistä käsitettä ei yleensä määritellä hyvin kovin "aikaisessa" vaiheessa, vaan vasta esimerkiksi hyperreaalilukujen avulla epästandardissa analyysissä. Samaa notaatiota käytetään lisäksi muun muassa differentiaaligeometriassa differentiaalimuodon ulkoderivaatasta, jolloin 0-muodon ulkoderivaatan voi käsittää "differentiaaliksi" klassisessa mielessä.

      Ns. käsiä heiluttelemalla sanomasi kyllä pitää tietyssä mielessä paikkaansa, eli jos jotain mielikuvallista apuvälinettä kaipaat ja olet esimerkiksi lukiossa, mielestäni voit kyllä ajatella noin jos se auttaa.

    • Aukino

      Diffrentiaali on siis esim. dx tai dy tai fysiikassa esim. dt, ja ne lähestyvät aina nollaa, itse asiassa aina pluspuolelta. Fluxioni on vielä sama kuin Derivaatta, sen ilmaisi Newton pistämällä funktion päälle pisteen, ja se tarkoitti samaa kuin ajalla derivointi. Derivointi on siis sama kuin differentiaalien jako, koska derivoidessa täytyy aina ilmaista, minkä suhteen derivoidaan funktio, Se on tavallisesti oletusarvoisesti dx, jos ei toisin mainita.

      Derivaatta on niinkuin sanoit, dy/dx tai df(x)/dx ja se on vielä sama kuin "tangentti", eli kun käytetäänkin kulmaa, vastaisen suhde viereiseen kateettiin, ja siinä ilmenisi silloin noiden kateettien dy ja dx sijaan kulma, mutta se on silti sama asia. Eli:
      tan alfa = df(x)/dx, missä alfa on kulma missä tangentti sivuaa funktiota f tai y pisteessä x.

      • Aukino

        Eli derivaatan määritelmähän on esim.
        F'(x) = f(x) = dF(x)/dx = lim h->0 (F(x h)-F(x))/h, mutta sen varmaan kaikki lukionsa jo käyneet tietävät....
        h: voisi merkita x1-x0 eli (x h) - x = h

        Ääretön derivaatan arvo tai ääretön tangetin arvo? Silloin noustaan suoraan ylös, ja se pongaa aina käytetyssä x-pisteessä kuvion maksimiarvon, eli periaattessa on silti aina teoriassa ääretön....

      • Aukino
        Aukino kirjoitti:

        Eli derivaatan määritelmähän on esim.
        F'(x) = f(x) = dF(x)/dx = lim h->0 (F(x h)-F(x))/h, mutta sen varmaan kaikki lukionsa jo käyneet tietävät....
        h: voisi merkita x1-x0 eli (x h) - x = h

        Ääretön derivaatan arvo tai ääretön tangetin arvo? Silloin noustaan suoraan ylös, ja se pongaa aina käytetyssä x-pisteessä kuvion maksimiarvon, eli periaattessa on silti aina teoriassa ääretön....

        ÖÖ, sori ilmaisin itseni väärin. Ääretön tangnettina ei välttämättä nosta kuviota, kuin esim. yhden yksikön y:tä ylöspäin, eli ei kuvion maksimiarvoksi välttämättä yyssä, mutta kuvion on hiukan vaikeaa määritellä x:n avulla, kuinka kauan kyseissä pisteessä noustaan ylös, se pitäisi erikseen ilmaista esim. 2

      • Aukino
        Aukino kirjoitti:

        ÖÖ, sori ilmaisin itseni väärin. Ääretön tangnettina ei välttämättä nosta kuviota, kuin esim. yhden yksikön y:tä ylöspäin, eli ei kuvion maksimiarvoksi välttämättä yyssä, mutta kuvion on hiukan vaikeaa määritellä x:n avulla, kuinka kauan kyseissä pisteessä noustaan ylös, se pitäisi erikseen ilmaista esim. 2

        Öö, tosta jäi sen äärettömän tangentin ääretön-selitys jostain syystä pois:
        esim. 2

      • 20+13
      • Yucca
        20+13 kirjoitti:

        Kannatus tälle.

        derivaatta on esim. dy/dx
        http://matta.hut.fi/matta2/isom/html/derivaat1.html

        differentiaali on esim. dy ( df = f'(x)h )
        http://matta.hut.fi/matta2/isom/html/derivaat3.html

        Valitettavasti tuossa aineistossa on käytetty derivaatan merkinnässä Ascii-heittomerkkiä ('), joka on lähes kiinni edeltävässä kursivoidussa f:ssä. Niinp' keskeistä yhtälöä df = f'(x)h pitää tihrustaa tarkkaan, ennen kuin huomaa, ettei se ole df = f(x)h. Oikeampi merkintä on df = fʹ(x)h, mutta eipä sekään johda kovin hyvin luettavaan tulokseen. Ellei kaavoja tuoteta ohjelmilla, jotka pystyvät esittämään matemaattiset kaavat laadukkaasti, on parempi merkitä f:n derivaattaa Df:llä, siis esimerkiksi df = Df(x)h.

        Joka tapauksessa differentiaali on siis yksinkertaisesti argumentin muutoksen (h) ja derivaatan tulo. Differentiaali antaa funktion arvon muutoksen likiarvon, joka perustuu funktion approksimoimiseen lineaarisella funktiolla (siis graafisesti sanottuna suoralla, jonka kulmakerroin on funktion derivaatta).

      • 3+10
        Yucca kirjoitti:

        Valitettavasti tuossa aineistossa on käytetty derivaatan merkinnässä Ascii-heittomerkkiä ('), joka on lähes kiinni edeltävässä kursivoidussa f:ssä. Niinp' keskeistä yhtälöä df = f'(x)h pitää tihrustaa tarkkaan, ennen kuin huomaa, ettei se ole df = f(x)h. Oikeampi merkintä on df = fʹ(x)h, mutta eipä sekään johda kovin hyvin luettavaan tulokseen. Ellei kaavoja tuoteta ohjelmilla, jotka pystyvät esittämään matemaattiset kaavat laadukkaasti, on parempi merkitä f:n derivaattaa Df:llä, siis esimerkiksi df = Df(x)h.

        Joka tapauksessa differentiaali on siis yksinkertaisesti argumentin muutoksen (h) ja derivaatan tulo. Differentiaali antaa funktion arvon muutoksen likiarvon, joka perustuu funktion approksimoimiseen lineaarisella funktiolla (siis graafisesti sanottuna suoralla, jonka kulmakerroin on funktion derivaatta).

        Olen huomannut saman ja käyttänyt blankoa yläpilkun edessä: f '(x); ei kovin kaunista mutta selkeää.

      • Aukino
        Aukino kirjoitti:

        Eli derivaatan määritelmähän on esim.
        F'(x) = f(x) = dF(x)/dx = lim h->0 (F(x h)-F(x))/h, mutta sen varmaan kaikki lukionsa jo käyneet tietävät....
        h: voisi merkita x1-x0 eli (x h) - x = h

        Ääretön derivaatan arvo tai ääretön tangetin arvo? Silloin noustaan suoraan ylös, ja se pongaa aina käytetyssä x-pisteessä kuvion maksimiarvon, eli periaattessa on silti aina teoriassa ääretön....

        Derivaatta siis pongaa yhtä alemman ulottuvuuden ja toinen derivaatta kahta.
        d^2y/dx^2 on toinen derivaatta yylle, ja ilmaisee käyrän kuperuuden, siinä missä ensimmäinen derivaatta dy/dx kulmakertoimen. Jos käyrä on suora, sen kuperuus, toinen derivaatta on aina nolla.

    • 18+12

      Yhden muuttujan funktiloilla se on noin mutta monen muuttujan funktioilla differentiaali on summa, jossa tekijöinä on kunkin muuttujan osittaisderivaatan ja muuttujan differentiaalin tulo.

    • popedo

      Ei, derivaatta ei määritellä osamääränä! Derivaatta on erotusosamäärän raja-arvo. Funktion differentiaali pisteessä a voidaan määritellä seuraavasti:

      ∆f(a) = f(a h) - f(a), missä h on yleensä pieni.

      Koska h voi saada mitä tahansa arvoja, niin differentiaalien sovellukset ovat epäilyttävästi vähäiset.

      Derivaatta sen sijaan on raja-arvon sovellus. Ilman raja-arvoa emme ikinä voisi määrittää derivaattaa symbolisesti, vaan tyytyisimme laskemaan likiarvoja funktion jokaiselle pisteelle erikseen. En tiedä miten maailma toimisi ilman symbolista derivaattaa mutta tuskin kuussakaan olisi silloin käyty.

      • Ei noin...

        Differentiaalin määritelmä noin tehtynä on kyllä ristiriidassa niiden määritelmien kanssa, joihin minä olen aiemmin törmännyt. Mielestäni koko differentiaalin määritteleminen on alkeiden tasolla täysin turhaa, mutta jos se on pakko tehdä, niin tavallisempi määritelmä olisi kait tuo 20 13:n mainitsema.

        Sitä paitsi yleensä kait differentiaalia merkitään df(a) kun taas tuo Delta viittaa muutokseen yleisemmin.

    • 399

      En tiedä vastausta

    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Takaisin ylös

    Luetuimmat keskustelut

    1. PropsApp Koodi

      Haluatko ansaita ja kilpailla fiksusti samalla kun seuraat urheilua? Props tekee sen mahdolliseksi. Sovelluksessa pääset
      Yleistä ohjelmista ja sovelluksista
      2
      3478

    2. Persut yrittävät epätoivon vimmalla

      kiertää häirintä asian https://www.iltalehti.fi/politiikka/a/5389f072-60d9-4ef8-aa7b-c11f0eda66cf jonka muut puolueet a
      Maailman menoa
      72
      3231

    3. "Skandaali muhii SDP:ssä" - "pelon ilmapiiri vallitsee"

      Puolueen johto on vähintään vastuussa ilmapiiristä, jossa häirinnän uhrit eivät ole saaneet ääntään kuuluviin. Vyyhdin
      Maailman menoa
      50
      2756

    4. IL: "Kyykyttämistä, alistamista, painostamista, huutamista ja tiuskimista SDP:n

      eduskuntaryhmässä." Häirintäkohu puolueen ympärillä paisuu. Iltalehden haastattelemien SDP-lähteiden mukaan eduskunta-
      Maailman menoa
      54
      2578

    5. Riikka runnoo: konkursseja eniten 30 vuoteen

      Vuonna 2025 Suomessa haettiin konkurssiin yhteensä 3 906 yritystä. Konkurssiluku oli suurin sitten vuoden 1996.
      Maailman menoa
      89
      2397

    6. Taas nuoren kuolema

      Vasunmäentiellä paha onnettomuus. Nuori nainen menehtyi. Niiin sydäntä riipaisevaa 😭
      Lapua
      29
      1300

    7. Jari Sillanpää isossa leikkauksessa - Paljastaa, mitä uralle tapahtuu!

      Palaako Siltsu keikoille? Artisti, ex-tangokuningas Jari Sillanpää on ollut lonkkaleikkauksessa ja kotiinpaluu on edessä
      Suomalaiset julkkikset
      21
      1207

    8. Kuinka paljon teillä

      on ikäeroa?
      Ikävä
      95
      1172

    9. Raamatun kanta homoseksuaaliseen käytökseen on selvä

      On oma mielipiteesi mikä tahansa on hyvä muistaa, mikä on Jumalan mielipide. Edelliset ketjut ovat tulleet täyteen joten
      Luterilaisuus
      337
      1053

    10. Hämmentävä muutos tv:ssä: Roope Salminen OUT, Sointu Borg IN!

      Roope OUT, Sointu IN! Mitä tykkäät tästä muutoksesta? Suositun Myyrä-seikkailusarjan alusta asti juontohommissa on oll
      Suomalaiset julkkikset
      14
      946
    Aihe
    TietosuojaselosteKäyttöehdotEvästeasetuksetSäännöt