Moi ! Selailin tässä lukion pitkän matematiikan oppikirjoja ja silmiini osui tehtävä, jonka ratkaiseminen tuotti itselle "pientä" päänvaivaa. Osaisiko joku auttaa ? Sanallinen selitys tehtävän ratkaisulle riittää hyvin.
Suorakulmion ABCD lävistäjä AC on suoralla 9x-7y-19=0. Määritä pisteiden C ja D koordinaatit, kun A=(-1,-4) ja B=(8,2).
Suorakulmion ABCD lävistäjä AC on suoralla 9x-7y-19=0. Määritä pisteiden C ja D koordinaatit, kun A=(-1,-4) ja B=(8,2).
Vastaukset 6
Vanhimmat
No koska tää ei sulle kuitenkaa täysin vieras tehtävä ole niin oletan että olet käynyt myös vektorikurssin mikä on heti analyyttisen geometrian jälkee. Vektoreilla kääntelet ja vääntelet niin helppo on :)
Pisteen C koordinaatit toteuttavat tuon suoran yhtälön, siitä yksi yhtälö, ja lisäksi
vektorien AB ja BC välinen pistetulo on nolla.
9Cx-7Cy=0
(9i 6j)·((Cx-8)i (Cy-2j))=0=>3Cx 2Cy=28
näistä tulee Cx=6 ja Cy=5. Helposti näkee, koska suorakulmio, niin D=(-3,-1)
9Cx-7Cy=19 painovirhe, ei vaikuta laskuihin
1) määrätään pisteiden A ja B kautta kulkevan suoran yhtälö
2) määrätään pisteeseen B piirretyn normaalisuoran yhtälö
3) piste C on tämän normaalisuoran ja lävistävän suoran leikkauspiste.
4) piste D saataneen nyt monella tavalla. Se on esimerkiksi selllainen pisteen A kautta piirretyn suoran AB normaalin piste, joka on etäisyydellä |BC| pisteestä A.
Tehtävä ratkennee helposti, kun havaitaan, että jana BC sijaitsee suoralla, jonka eräs normaali on vektori AB=(9,6) ja eräs piste B=(8,2).
Suoran yhtälöksi saadaan (* = pistetulo)
(9,6)*(x,y)=(9,6)*(8,2)
9x 6y=84
3x 2y=28
Tämän ja tehtävässä mainitun suoran leikkauspiste on piste C.
Pisteen D koordinaatit saadaan laskemalla
OD=OA AD=OA (AC CD)=(OA AC) CD=OC BA=OC-AB
Yhtälöparin
9x-7y=19
3x 2y=28
ratkaisuksi tulee x=6 ja y=5.
Siis piste C=(6,5), kuten edellä jo todettiin.
Edelleen
OD=OC-AB=(6i 5j)-(9i 6j)=-3i-j
joten D=(-3,-1)