Toisin kuin induktiivisessa päättelyssä, matemaattiseen induktioon ei sisälly Humen ongelmaa, sillä matemaattinen induktio on rekursioon perustuvaa todistamista eli pätevää deduktiivista päättelyä. Todistus perustuu rekursiorelaation avulla määriteltyyn äärettömän joukon säännönmukaisuuteen, joka todistuksessa yleistetään koko joukkoon, esimerkiksi luonnollisten lukujen joukkoon. Matemaattinen induktio voidaan myös samaistaa täydellisen induktion kanssa, sillä siinä käydään rekursiivisesti kaikki mahdolliset yksittäistapaukset läpi.
Kuitenkin jotkut älykkäät hardcorematemaatikot ja lähellä matematiikkaa olevat henkilöt epäilevät induktiotodistuksen pätevyyttä. Leopold Kronecker tyrmäsi sen täysin. Mitä mieltä olette? Löytyykö kroneckerlaisia? Itse olen käyttänyt induktiotodistusta liittyen matemaattiseen tietotekniikkaan. En kerro tästä työstäni, koska muuten henkilöllisyyteni voisi paljastua.
Kuitenkin jotkut älykkäät hardcorematemaatikot ja lähellä matematiikkaa olevat henkilöt epäilevät induktiotodistuksen pätevyyttä. Leopold Kronecker tyrmäsi sen täysin. Mitä mieltä olette? Löytyykö kroneckerlaisia? Itse olen käyttänyt induktiotodistusta liittyen matemaattiseen tietotekniikkaan. En kerro tästä työstäni, koska muuten henkilöllisyyteni voisi paljastua.
Vastaukset 6
Vanhimmat
No ei tämä kyllä ole mikään mielipidekysymys. Induktiotodistuksen toimivuus on suht helposti todistettavissa vaikkapa luonnollisten lukujen aksioomista.
Näin varmaan onkin, jos hyväksytään esimerkiksi Peanon aksioomat luonnollisten lukujen pohjaksi (Induktioperiaate on itse asiassa yksi aksioomista) tai hyväksytään joukko-opin aksioomat ja määritellään luonnolliset luvut joukko-opin pohjalta. Luulenpa, että tuo aloituspostissa mainittu kritiikki onkin suunnattu näitä aksioomasysteemejä vastaan. Aksioomia ei luonnollisestikaan voi todistaa ja Gödelin epätäydellisyyslauseiden nojalla edes luonnollisten lukujen aksioomajärjestelmän ristiriidattomuutta ei voi todistaa käyttämättä luonnollisia lukuja vahvempia menetelmiä, joten erilaisten aksioomajärjestelmien meriiteistä voidaan kiistellä ja toisinaan kaiketi kiistelläänkin varsin kiivasti.
Sinälläänhän tuollaisella metamatemaattisella väittelyllä ei ole paljonkaan tekemistä sen kanssa miten matematiikkaa käytännössä tehdään. Onhan joukko-opin valinta-aksiooman kriitikoistakin sanottu, että he kuitenkin käyttivät sitä vapaasti omassa tutkimuksessaan. Samaten varmasti jokainen tutkimusmatemaatikko käyttää induktiotodistusta vapaasti ellei sitten nimenomaisesti ole tarkoitus tutkia mitä asioita voidaan oikeuttaa ilman sen käyttöä.
Sinällään minä en ole tuohon induktiotodistuksen kritiikkiin perehtynyt enkä siksi tunne omaavani minkäänlaista kompetenssia arvioida sen syvällisempää merkitystä.
Jaa, induktiotodistus on perinteinen tapa ja kiistanalainen myös. Itse suosin kaikessa mitä luen (en todistele soveltajana mitään teoreettisesti) suoraa todistamista eli suoraviivaista loogista etenemistä määritelmistä käsin matemaattisten sääntöjen ja deduktiivisen logiikan keinoin. Ehdottomasti minulle selkein tapa ymmärtää ja uskoa asia.
PS. Yleistämisongelma on deduktioon liittyvä ongelma, ei induktioon tai induktiiviseen päättelyteoriaan liittyvä ongelma. Tämä johtuu siitä, että deduktiivinen logiikka perustuu varmuuteen, eikä pysty tekemään pätevästi yleistyksiä epävarmassa ja satunnaisessa maailmassa.
Siksi tarvitaan induktiota, jossa epävarmuus upotetaan analyysin lähtötilanteeseen todennäköisyyskäsitteen avulla. Näin mitään yleistämisongemaa ei synny.
Induktiotodistus lienee ikuinen kiviriippa "yltiöpuhtaiden" matemaatiikojen räpylölssä Gödelin jälkeen.
Esim. lukuteorissa (mm. alkulukujen tutkimus) sillä on menty komeasti pieleen. Mutta paljon hyvääkin saavutettu, ainakin sovellustasolle riittävää, kun ei ihan huimissa abstraktioissa pyöritä.
Mielestäni Mane ei kyllä nyt ymmärrä homman ydintä. En tajua, miten induktuktiotodistuksen mahdollinen onnistuminen/epäonnistuminen voidaan upottaa à priori -todennäköisyytenä todistusketjun alkutilanteeseen?
En nyt ole aivan varma mitä ajat takaa, mutta itse tarkoitin vain, että epävarmassa ja satunnnaisessa maailmassa, deduktiolta putoaa pois tieteellinen legimiteetti, koska perustuu varmuuteen. Induktiopäättely pystyy käsittelemään epävarmuutta ja ratkaisemaan tieteellisesti pätevästi Humen yleistämisongelman.
En siis puhunut matemaattisesta todistamista induktiivisen päättely avulla, joka lienee yleiselllä tasolla mahdotonta monimutkaisuuden takia. Eli deduktion on oiva keino abstraktiin todisteluun, ei induktio siihen oikein sovi.
Mutta induktio sopii moniin käytännön ongelmiin esim. hahmontunnistukseen tms. insööriongelmiin. Ei niinkään teoreettiseen tarkasteluun.
Juu, Kronecker oli tavallaan bittilinjalla: kaikki muu paitsi kokonaisluvut ovat ex anus.
Heh-heh tuota henkilöllisyyden paljastumista. Varo nyt samalla valvontakameroita, äläkä enää kompastele kapakassa, ettei tule iltalehtiin uutisia ;-).