Etsi funktion f(x) = sqrt(sinx - cosx) määrittely- ja arvojoukot.
Määrittelyjoukon kohdasta saan x = pii/4 - pii*n
Mutta mitä tällä pitäisi sitten tehdä?
Arvojoukostakaan en saa millään oikeata vastausta. Derivoidessa tulee vain sama lauseke.
Määrittelyjoukon kohdasta saan x = pii/4 - pii*n
Mutta mitä tällä pitäisi sitten tehdä?
Arvojoukostakaan en saa millään oikeata vastausta. Derivoidessa tulee vain sama lauseke.
Vastaukset 4
Vanhimmat
Olisiko derivaatta jotain
sin(x) cos(x)
------------------
2*sqr(sin(x)-cos(x))
Huom! Sisäfunktion (sinx - cosx) derivaatta kertaa ulkofunktion (sqr(u) eli x^½) derivaatta
Tuon nollakohdat alkuperäiseen funktioon sijoittamalla saa maksimiarvon.
Olisiko tuosta apua.
"Alykäs" nettisivukone poisti jakoviivan.
[sin(x) cos(x)] / [2*sqr(sin(x)-cos(x))}
Tarkastele sin ja cos funktioiden kuvaajia välillä 0 - 2pii. Koska juurrettavan pitää olla > 0, pitää olla sin > cos. Näet että se toteutuu välillä pii/4 - 5pii/4. Ja moninkerrat pääle.
Arvojoukossa 0 on minimi neliöjuurilausekkeen takia. Maksimin saat derivoimisen kautta. Koska funktio on jatkuva, saa se kaikki arvot noiden väliltä.
Ensimmäiseksi meidän pitää saada tuo neliöjuuren argumentti (juurrettava) sellaiseen muotoon, että siinä esiintyy ainoastaan yksi sini- tai kosinifunktio.
Tämä on mahdollista, sillä samajaksoisten sinifunktioiden lineaarikombinaatio on aina samajaksoinen sinifunktio (ellei se mene nollaksi).
Tässä tapauksessa voimme käyttää esim. lukion taulukkokirjastakin löytyvää kaavaa
cos(a)-cos(b)=-2sin((a b)/2)sin((a-b)/2), jonka avulla saamme:
sin(x)-cos(x)
= cos(x-pii/2)-cos(x)
= -2sin(x-pii/4)sin(-pii/4)
= -2sin(x-pii/4)(-sqrt(2)/2)
= sqrt(2)sin(x-pii/4)
Jotta neliöjuuri tästä olisi määritelty, lausekkeen pitää olla suurempi tai yhtäsuuri kuin nolla.
sqrt(2)sin(x-pii/4) >= 0
sin(x-pii/4) >= 0
0 n*2*pii