Tarkastellaan äärellistä kommutatiivista rengasta, joka ei välttämättä ole kokonaisalue. Rengas sisältää nolla-alkion ja siitä erillisen yksiköiden ryhmän. Ovatko kaikki muut renkaan alkiot tällöin nollasta eroavia nollantekijöitä?
Jos ovat, niin miten tämä todistetaan?
Jos eivät, niin mikä olisi yksinkertaisin vastaesimerkki?
Jos ovat, niin miten tämä todistetaan?
Jos eivät, niin mikä olisi yksinkertaisin vastaesimerkki?
Vastaukset 7
Vanhimmat
Tutkittaessa tällaisia väitteitä, kannattaa monesti ensin testata väitteen paikkaansa pitävyyttä joissakin yksinkertaisissa tapauksissa. Renkaiden teoriassa esimerkiksi kokonaislukujen rengas on hyvä prototyyppi renkaasta.
Esim. jäännösluokkarenkaassa Z_10 yksiköitä ovat alkiot 1, 3, 7 ja 9, sillä 1*1=3*7=9*9=1. Alkiot 2,4,5,6 ja 8 ovat nollasta eroavia nollantekijöitä, sillä mm. 2*5=4*5=5*6=5*8=0. Siis väite pitää tässä tapauksessa paikkansa.
Integers ei ilmeisesti ole lukenut kysymystä kunnolla, koska siinähän nimenomaan puhutaan äärellisestä renkaasta.
9236:n vastaukset alempana ovat hyviä.
Olkoon x tämän renkaan alkio joka ei ole nolla tai nollanjakaja.
Tällöin
ax =!= bx kaikilla a=!=b (muuten (a-b)x=0 ja (a-b) ei ole kuitenkaan nolla).
Siis kuvaus
a -> ax on injektio renkaalta itselleen. Koska rengas on äärellinen, on kuvauks myös surjektio. Näin ollen myös ykkönen saavutetaan jollain renkaan alkiolla eli x:lle löytyy käänteisalkio.
Joten vastatakseni kysymykseen: Ovat. Jos x ei ole nolla eikä kääntyvä, niin sen täytyy edellisen nojalla olla nollanjakaja (sillä osoitettiin, että jos se ei ole nollanjakaja niin se on kääntyvä).
Vielä lisäys: Ajattelin jo ettei tuota kommutatiivisuutta edes tarvittaisi mutta kyllähän se tuossa tarvitaan kun löydetään vain alkio a, jolle ax=1, jolloin kommutatiivisuuden nojalla a on x:n käänteisalkio.
En nyt kyllä ihan heti keksi epäkommutatiivista esimerkkiäkään, jossa olisi ei-nollanjakaja, ei-kääntyvä alkio...
Ja eipä sellaista löydykään ; ) sillä samalla tavalla löydetään x:lle oikea käänteisalkio ja kun on löydetty oikea ja vasen käänteisalkio, niin tiedetään, että x on kääntyvä ja käänteisalkio = vasen käänteisalkio = oikea käänteisalkio:
Jos ax = 1 ja xb = 1, niin
b = axb = a.
Tarkemmin tuo päättely menee kai näin:
b=1b=(ax)b=a(xb)=a1=a
Tästä voidaan siis päätellä, että jos x:llä on sekä vasemmanpuoleinen, että oikeanpuoleinen käänteisalkio, niin ne ovat samat.
Oleellista on myös se, että vasemmanpuoleinen ja oikeanpuoleinen ykkösalkio ovat samat ja niitä on vain yksi kappale ts. ykkösalkio on yksikäsitteinen.