Tarkastellaan äärellistä kommutatiivista rengasta, joka ei välttämättä ole kokonaisalue. Rengas sisältää nolla-alkion ja siitä erillisen yksiköiden ryhmän. Ovatko kaikki muut renkaan alkiot tällöin nollasta eroavia nollantekijöitä?
Jos ovat, niin miten tämä todistetaan?
Jos eivät, niin mikä olisi yksinkertaisin vastaesimerkki?
Nollasta eroavat nollantekijät?
34676+56786=80352
7
112
Vastaukset
- Integers
Tutkittaessa tällaisia väitteitä, kannattaa monesti ensin testata väitteen paikkaansa pitävyyttä joissakin yksinkertaisissa tapauksissa. Renkaiden teoriassa esimerkiksi kokonaislukujen rengas on hyvä prototyyppi renkaasta.
- MesiErkki
Esim. jäännösluokkarenkaassa Z_10 yksiköitä ovat alkiot 1, 3, 7 ja 9, sillä 1*1=3*7=9*9=1. Alkiot 2,4,5,6 ja 8 ovat nollasta eroavia nollantekijöitä, sillä mm. 2*5=4*5=5*6=5*8=0. Siis väite pitää tässä tapauksessa paikkansa.
- Tarkkana nyt
Integers ei ilmeisesti ole lukenut kysymystä kunnolla, koska siinähän nimenomaan puhutaan äärellisestä renkaasta.
9236:n vastaukset alempana ovat hyviä.
- algeb9236
Olkoon x tämän renkaan alkio joka ei ole nolla tai nollanjakaja.
Tällöin
ax =!= bx kaikilla a=!=b (muuten (a-b)x=0 ja (a-b) ei ole kuitenkaan nolla).
Siis kuvaus
a -> ax on injektio renkaalta itselleen. Koska rengas on äärellinen, on kuvauks myös surjektio. Näin ollen myös ykkönen saavutetaan jollain renkaan alkiolla eli x:lle löytyy käänteisalkio.- algb9236
Joten vastatakseni kysymykseen: Ovat. Jos x ei ole nolla eikä kääntyvä, niin sen täytyy edellisen nojalla olla nollanjakaja (sillä osoitettiin, että jos se ei ole nollanjakaja niin se on kääntyvä).
- alg9236
algb9236 kirjoitti:
Joten vastatakseni kysymykseen: Ovat. Jos x ei ole nolla eikä kääntyvä, niin sen täytyy edellisen nojalla olla nollanjakaja (sillä osoitettiin, että jos se ei ole nollanjakaja niin se on kääntyvä).
Vielä lisäys: Ajattelin jo ettei tuota kommutatiivisuutta edes tarvittaisi mutta kyllähän se tuossa tarvitaan kun löydetään vain alkio a, jolle ax=1, jolloin kommutatiivisuuden nojalla a on x:n käänteisalkio.
En nyt kyllä ihan heti keksi epäkommutatiivista esimerkkiäkään, jossa olisi ei-nollanjakaja, ei-kääntyvä alkio...
Ja eipä sellaista löydykään ; ) sillä samalla tavalla löydetään x:lle oikea käänteisalkio ja kun on löydetty oikea ja vasen käänteisalkio, niin tiedetään, että x on kääntyvä ja käänteisalkio = vasen käänteisalkio = oikea käänteisalkio:
Jos ax = 1 ja xb = 1, niin
b = axb = a. - 45776+38556=73222
alg9236 kirjoitti:
Vielä lisäys: Ajattelin jo ettei tuota kommutatiivisuutta edes tarvittaisi mutta kyllähän se tuossa tarvitaan kun löydetään vain alkio a, jolle ax=1, jolloin kommutatiivisuuden nojalla a on x:n käänteisalkio.
En nyt kyllä ihan heti keksi epäkommutatiivista esimerkkiäkään, jossa olisi ei-nollanjakaja, ei-kääntyvä alkio...
Ja eipä sellaista löydykään ; ) sillä samalla tavalla löydetään x:lle oikea käänteisalkio ja kun on löydetty oikea ja vasen käänteisalkio, niin tiedetään, että x on kääntyvä ja käänteisalkio = vasen käänteisalkio = oikea käänteisalkio:
Jos ax = 1 ja xb = 1, niin
b = axb = a.Tarkemmin tuo päättely menee kai näin:
b=1b=(ax)b=a(xb)=a1=a
Tästä voidaan siis päätellä, että jos x:llä on sekä vasemmanpuoleinen, että oikeanpuoleinen käänteisalkio, niin ne ovat samat.
Oleellista on myös se, että vasemmanpuoleinen ja oikeanpuoleinen ykkösalkio ovat samat ja niitä on vain yksi kappale ts. ykkösalkio on yksikäsitteinen.
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Voitasko leikkiä jotain tunnisteleikkiä?
Tietäisi ketä täällä käy kaipaamassa.. kerro jotain mikä liittyy sinuun ja häneen eikä muut tiedä. Vastaan itsekin kohta781805Tietysti jokainen ansaitsee
Hän varmasti ansaitsee vain parasta ja sopivinta tietenkin, suon sen onnen hänelle enemmän kuin mielelläni. Aika on nyt181689- 161514
50+ naiset kyl
Lemottaa sillille mut myös niitte kaka lemottaa pahlle ku kävin naiste veskis nuuhiin191203En voi sille mitään
Tulen niin pahalle tuulelle tästä paikasta nykyisin. Nähnyt ja lukenut jo kaiken ja teidän juttu on samaa illasta toisee121194Välitän sinusta mies
Kaikki mitä yritin kertoa tänään ei mennyt ihan putkeen..Joka jäi jälkeenpäin ajateltuna suoraan sanottuna harmittaa aiv61182hieman diabetes...
Kävin eilen kaverin kanssa keskusapteekissa kun on muutama kuukausi sitten tullut suomesta ja oli diabetes insuliinit lo121146Annetaanko olla vaan
Siinä se, tavallaan kysymys ja toteamuskin. Niin turhaa, niin rikkovaa. On niin äärettömän tärkeä, ja rakas olo.. N291131Miten joku voi käyttää koko elämänsä
siihen että nostelee täällä vanhoja ketjuja ja troIIaa niihin jotain linkkiä mitä kukaan ei avaa? Ihmisellä ei ole mitää61119Pakkoruotsi on leikkikieli, jota ei ole tarkoituskaan osata
Pakkoruotsi on leikkikieli. Ennen leikkikieltä sanottiin siansaksaksi, sitten keksittiin tilalle pakkoruotsi. Pakkoruot71114