Millä vakion a arvoilla polynomifunktion x^3 ax^2 3x derivaatta on kaikkialla positiivinen? (lähinnä pohtinut, että miten saan a:n ratkaistuksi?)
tätä pähkäillyt jonkin aikaa, a varmaan pitäisi ensin jotenkim ratkaista, mutta ei tuöe mieleen miten?
tätä pähkäillyt jonkin aikaa, a varmaan pitäisi ensin jotenkim ratkaista, mutta ei tuöe mieleen miten?
Vastaukset 2
Vanhimmat
Se derivaattahan on paraabeli, ja paraabelin termien kertoimista saadaan selville aukeamissuunta ja huipun koordinaatit (Wikipedia).
Nyt sen huipun pitää ollax-akselin yläpuolella, koska ylöspäinhän se paraabeli aukeaa. Siitä pitäisi päästä kiinni a:han, sillä sieltä taitaa tulla uusi paraabeli a:lle, josta ainakin äkkiä samalla lailla totesin, että a:n arvosta riippumatta tuo derivaatta on positiivinen.
Voi olla väärinkin.
No osaat varmaankin laskea tuon polynomin derivaatan. Jos f(x) = x^3 ax^2 3x niin f'(x) = 3x^2 2ax 3. Mitä vaaditaan että toisen asteen polynomi on aina positiivinen?
Ensinnäkin tuon f'(x):n kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli koska x^2 kerroin on positiivinen (3).
Derivaatan kuvaaja on kokonaisuudessaan x-akselin yläpuolella kun sillä ei ole yhtään nollakohtia, eli kun diskriminantti (2a)^2-4*3*3 = 4a^2 - 36 on negatiivinen. Tästä saadaan siis a^2 < 9 eli -3 < a < 3.