sanoisin näin
ei ole syytä olla pitämättä ekvivalenssiutta ja yhtäsuuruutta samoina asioina, koska kummankaan toisella puolella ei ole supistukset tai laajennukset mahdollisia ja myös molempien totuusarvot ovat samat.
Jos toisella puolella kuin alkuperäinen on tapahtunut yhtälön pienennys tai laajennus sinne on päästy implikaatiolla. Ei siihen muuten voi päästä kuin implikaatiolla alkuperäisestä yhtälöstä.
Äskeisen ja totuusarvojen samanlaisuuden takia yhtäsuuruus ja ekvivalenssius ovat samoja asioita.
ei ole syytä olla pitämättä ekvivalenssiutta ja yhtäsuuruutta samoina asioina, koska kummankaan toisella puolella ei ole supistukset tai laajennukset mahdollisia ja myös molempien totuusarvot ovat samat.
Jos toisella puolella kuin alkuperäinen on tapahtunut yhtälön pienennys tai laajennus sinne on päästy implikaatiolla. Ei siihen muuten voi päästä kuin implikaatiolla alkuperäisestä yhtälöstä.
Äskeisen ja totuusarvojen samanlaisuuden takia yhtäsuuruus ja ekvivalenssius ovat samoja asioita.
Vastaukset 4
Vanhimmat
Tuo nyt on kyllä sen verran sekavaa tajunnanvirtaa, etten minä ainakaan ensi lukemalla päässyt selville, mitä tässä tarkalleen ottaen ajetaan takaa. Olin kuitenkin ymmärtävinään, että alkuperäisen postin kirjoittajan mielestä yhtäsuuruusmerkkiä "=" ja evkvivalenssinuolta "" voisi käyttää samalla tavalla. Tämä ei tietenkään pidä paikkaansa, koska ensimmäinen on relaatio kahden luvun tai yleisemmän matemaattisen objektin välillä kun taas jälkimmäistä käytetään väitteiden välillä tarkoittamaan sitä, että ne ovat loogisesti samat (ts. ensimmäinen on tosi jos ja vain jos toinen on tosi).
Esimerkiksi yhtäsuuruutta yhtälössä
x = 0
ei voi korvata ekvivalenssilla, koska yhtälön puolet eivät ole väitteitä. x 0 tarkoittaisi x on tosi jos ja vain jos 0 on tosi, missä ei ole mitään järkeä.
Sen sijaan koko yhtälö sisältää väitteen, että x:n arvo on 0, joka on ekvivalenttia esimerkiksi sen kanssa, että (x 1):n arvo on 1. Siis
x = 0 x 1 = 1 .
Tässä ekvivalenssinuolta ei tietenkään voi korvata yhtäsuuruudella, sillä tällöin pitäisi olla 0=1, mikä on absurdia.
mitäs sitte, jos yhtäsuuruusmerkki sisältää ekvivalenttiuden ja myös sen, jossa muuttuja tai arvo kertoo yhtäsuuruusmerkillä halutut alkiot, jotka halutaan kertoa, kuten a=4. ja ekvivalenttius on kaikki ne asiat, jotka yhtäsuuruusmerkki kertoo paitsi alkioiden kertomista.
Vaikka se voisi ehkä olla oudolta kuulostava, niin ei haittaa, koska loogisuus on matematiikassa tärkeintä.
Kyllä, loogisuus on tärkeää, mutta yhtäsuuruus ja ekvivalenssi eivät silti ole sama asia. Ekvivalenssi on logiikkaan (mitä nyt tietysti matematiikassakin paljon olennaisesti on) liittyvä laajempi käsite. Kyllä ekvivalenssi voi sisältää myös yhtäsuuruuden, täytyykin tavallaan, mutta ei todella ole sama asia.
Tuo nyt on matemaattisen logiikan alkeita. Suosittelen siihen perehtymistä kaikille matematiikan opiskelijoille. Ainakin itseäni aikoinaan helpotti kovasti matikan opiskelua
tuo perustelu, että ne eivät ole samoja ja ekvivalenssi on laajempi käsite ei riitä. Tosi on, että tuollainen perustelu ei ole tieteellistä.
loogisuutta ja myös matematiikan harrastamisen pitäisi olla mahdollisimman yksiselittäistä ja eksaktia, eli aksioomista lähdetään ja perustellaan asioita ja päästään lopputuloksiin.
Kun väittäjä, jolla on uskottava perustelu kerronnassaan kohtaa toisen, joka sanoo ilman perustelua tai perusteluita vastaväitteen, edellinen voittaa siinä väittelyssä