"Pisteestä K= (2,1,3) alkavat vektorit i-j 2k ja -2i 3j-2k virittävät tason. Määritä taso."
Niin miten tuo taso määritetään ?
Voinko ajatella,että A= i-j 2k= (1,-1,2) ja B=-2i 3j-2k= (-2,3,-2) ? Silloin mahdollisesti osaisin ratkaista tehtävän,mutta muuten taidan olla ihan pihalla.
Niin miten tuo taso määritetään ?
Voinko ajatella,että A= i-j 2k= (1,-1,2) ja B=-2i 3j-2k= (-2,3,-2) ? Silloin mahdollisesti osaisin ratkaista tehtävän,mutta muuten taidan olla ihan pihalla.
Vastaukset 10
Vanhimmat
En tiedä miten lasketaan, mutta vektoreiden määrittämät kolme pistettä on helppo laskea summaamalla pisteen K koordinaatteihin.
Voi olla että tuossa pyritän johonkin muuhun asiaa.
A on (2i j 3k) (i-j 2k) = (3,0,5)
Sori pieleen meni!
Mutta tuolla on samantapainen lasku
http://opinnot.internetix.fi/fi/muikku2materiaalit/lukio/maa/maa05/maa5_11_taso.pdf?C:D=1818982&m:selres=1818982
"Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät
tason. Olkoot nämä pisteet P0 , B ja C. Merkitään vaikkapa P B r ja P C s 0 = 0 =
® ®
.
Tällöin voidaan sanoa, että vektorit r ja s virittävät (erään) tason T.
jne...
Ok,kiitos. No laitan koko tehtävän esille,jospa se toisi jotain selvyyttä.
"Pisteestä K= (2,1,3) alkavat vektorit i-j 2k ja -2i 3j-2k virittävät tason. Tutki,onko piste P= (2,2,6) tässä tasossa. Ellei ole,selvitä,kummalla puolella ko. tasoa piste P on."
Jos piste P on tasossa, niin sen täytyy toteuttaa tason vektorimuotoinen yhtälö:
OP=OK g*(i-2j 2k) h(-2i 3j-2k)
Se tason virittäminen tarkoittaa, että ne kaksi vektoria ovat tasossa, ja kun tiedetään lisäksi tuo tason piste K, niin saadaan tuo vektorimuoto.
Tuosta on helppo syntyvällä vektoriyhtälöllä todeta, että ei toteudu, joten P ei ole tasossa.
P:n sijainnin selvittämiseksi laskisin tason normaalin ja OP:n välisen kulman pistetulolla, ja jos kulma on välillä 90....270, niin silloin sijaitsee alapuolella.
Normaali saadaan ristitulolla, ja eräs normaali on: -3i-2j k, ja yleinen normaali
n=t(-3i-2j k). cos(alfa)=(n•ÔP)/(|n|*|OP|)=-4/sqrt(616). Negatiivinen on, joten alfa on välillä 90...270 (alfa on noin 92,3).
Tällä perusteella piste P sijaitsee tason alapuolella.
Tossa on n laskettu väärin, ei siinä tarvi edes määrittää normaalivektoria
http://aijaa.com/Ykvc7l
Koordinaatisto kun asetetaan niin, että z-akseli on ylöspäin, niin sen tason ylöspäin oleva normaali on (otetaan se tosta alemmasta linkistä, kun ei näköjään osata ristituloa))
-4i-2j k, ja se pitää ilmeisesti asettaa pisteeseen K , ja laskea sen ja vektorin KP välinen kulma. KP= 2i 2j 6k-(2i j 3k)=j 3k
n•KP=-2 3=1. cos(alfa) on 1/sqrt(210), ja vektorien välinen kulma noin 86 astetta.
Tason yläpuolella on piste (2,2,6)
Koko tehtävä menisi sillä kun tutkii syntyykö suuntaissärmiön tilavuudelle positiivinen arvo, eli onko KP•(r1xr2) > 0. Jos on, niin piste P on tason yläpuolella, ja jos tuo skalaarikolmitulo on 0, niin piste P on tasossa. Tuostahan tulee 1, eli yläpuolella on.
(Siinä vaan täytyy sijoittaa r1 ja r2 ristituloon niin, että k:n kertoimesta tulee positiivinen)
Voit ajatella ensin vektoreiden i-j 2k ja -2i 3j-2k virittämää tasoa origossa ja sitten siirtää sen pisteeseen K (eli siirtää origon pisteeseen K).
Siis, jos
a = (1, -1, 2) = i-j 2k
b = (-2, 3, -2) = -2i 3j-2k
T = < a, b > = a:n ja b:n virittämä taso, niin
Voit laskea tasolle T esityksen yhtälömuodossa käyttämällä sen normaalia, joka on a:n ja b:n ristitulo
a x b = -4i -2j 1k
Siis (x,y,z) kuuluu tasoon T jos ja vain jos se on kohtisuorassa tuota normaalia a x b vasten eli näiden sisätulo on nolla:
(x, y, z) . (-4, -2, 1) = 0
-4x -2y z = 0.
Tämä on siis origossa muodostetun tason T yhtälö. Nyt siirretään taso pisteeseen K, jolloin saadaan taso
S = { (x, y, z) | (x, y, z) - K € T } = { (x, y, z) | (x - 2, y - 1 , z - 3) . (a x b) = 0}
= { (x, y, z) | (x, y, z) . (a x b) = K . (axb) = -7}
Siis tason S yhtälö on
-4x -2y z = -7. (Toivottavasti laskut menivät oikein, voit tarkastaa, että piste K on tasolla S, koska se toteuttaa yhtälön.)
Selvittääksesi kummalla puolella tasoa piste P on laske tason yhtälön vasen puoli P:lle. Riippuen siitä onko se alle vai yli -7 kertoo kummalla puolella P on. (Jos ei sitte tule tasan -7, jolloin piste P on tasolla.)
Tuosta kohdasta
"S = { (x, y, z) | (x, y, z) - K € T } = { (x, y, z) | (x - 2, y - 1 , z - 3) . (a x b) = 0}
= { (x, y, z) | (x, y, z) . (a x b) = K . (axb) = -7}"
ei välttämättä saa niin hyvin selvää, joten:
Olkoon S pisteeseen K siirretty (eli alunperin haluttu) taso.
Piste (x, y, z) on tasolla S jos ja vain jos
(x, y, z) - K on tasolla T, eli jos ja vain jos
(x, y, z) - K sisätulo axb = 0, eli jos ja vain jos
(x, y, z) . (axb) = K . (axb), (piste merkitsee sisätuloa)
ja tästä saadaan tason S yhtälö.