Tarkoittaako differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu funktiojoukkoa, jossa on kaikki differentiaaliyhtälön ratkaisut mukana?
..eli integroidaan differentiaaliyhtälö (jotakinY'=jotakinXY) muotoon (y=jotakinX C)
Jos lasken yhtälölle yleisen ratkaisun ja minun pitää "näyttää laskemalla, että saamani ratkaisu todella on annetun differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu", niin mitä lasken - etsinkö arvoja jotka todistavat ratkaisun pätevän kaikilla arvoilla?
Läksyjä teen, mutta yritän samalla ymmärtää mitä yleinen ratkaisu tarkoittaa.
..eli integroidaan differentiaaliyhtälö (jotakinY'=jotakinXY) muotoon (y=jotakinX C)
Jos lasken yhtälölle yleisen ratkaisun ja minun pitää "näyttää laskemalla, että saamani ratkaisu todella on annetun differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu", niin mitä lasken - etsinkö arvoja jotka todistavat ratkaisun pätevän kaikilla arvoilla?
Läksyjä teen, mutta yritän samalla ymmärtää mitä yleinen ratkaisu tarkoittaa.
Vastaukset 1
Vanhimmat
Ainakin lineaaristen differentiaaliyhtälöiden yhteydessä tuo yleinen ratkaisu tarkoittaa juuri tuota, että siinä on kaikki ratkaisut mukana.
Yleensä tämä vain ilmaistaan siten, että funtion lauseekkeessa on mukana parametrejä (c1, c2 jne.), joiden arvoja vaihtelemalla saa kaikki ratkaisut.
"
..eli integroidaan differentiaaliyhtälö (jotakinY'=jotakinXY) muotoon (y=jotakinX C)
"
Joo, periaatteessa noin mutta ainahan se ratkaiseminen ei ole niin helppoa, että vain integroidaan...
Tuo
"näyttää laskemalla, että saamani ratkaisu todella on annetun differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu"
tarkoittaa mielestäni sitä, että sinun täytyy todeta, että ratkaisusi toteuttaa differentiaaliyhtälön riippumatta parametrien arvoista. Lisäksi täytyisi todistaa, että tässä tosiaan on kaikki mahdolliset ratkaisut, mutta tämä saattaa olla vaikeaa.
Lineaarisille yhtälöille ratkaisujen joukko on ns. funktioavaruuden lineaarinen aliavaruus, jolloin se miten monta riippumatonta parametriä ratkaisussa on, kertoo tämän aliavaruuden dimension.