1. Yhtälön x^2/a^2 y^2/b^2= 1 kuvaaja pyörähtää
a) x-akselin b) y-akselin ympäri.
Kummassako tapauksessa pyörähdyskappaleen tilavuus on
suurempi, kun tiedetään, että a > b > 0 ?
2. Paraabelin x = 4y^2, 0 < x < 36 sisään piirretään suorakulmio siten, että
kaksi kärkeä on paraabelin kaarella ja yksi sivu suoralla x = 36. Kun
sanotun rakennelman annetaan pyörähtää x-akselin ympäri välillä (siis 0
... 36) syntyy paraboloidin segmentti ja sen sisään suora ympyrälieriö.
Laske lieriön maksimitilavuuden ja pyörähdysparaboloidin tilavuuksien suhde.
Tuossa kohdassa 1 mietin, että pitäisikö nimittäjät jotenkin eliminoida pois ? Voisin silloin ymmärtääkkin, mitä tuossa kysytään.
a) x-akselin b) y-akselin ympäri.
Kummassako tapauksessa pyörähdyskappaleen tilavuus on
suurempi, kun tiedetään, että a > b > 0 ?
2. Paraabelin x = 4y^2, 0 < x < 36 sisään piirretään suorakulmio siten, että
kaksi kärkeä on paraabelin kaarella ja yksi sivu suoralla x = 36. Kun
sanotun rakennelman annetaan pyörähtää x-akselin ympäri välillä (siis 0
... 36) syntyy paraboloidin segmentti ja sen sisään suora ympyrälieriö.
Laske lieriön maksimitilavuuden ja pyörähdysparaboloidin tilavuuksien suhde.
Tuossa kohdassa 1 mietin, että pitäisikö nimittäjät jotenkin eliminoida pois ? Voisin silloin ymmärtääkkin, mitä tuossa kysytään.
Vastaukset 7
Vanhimmat
Kun lasket pyörähdystä x-akselin ympäri, muunna ensin muotoon
y^2 = b^2(1-x^2/a^2)
Siinä pitää integroida ympyräkiekkoja joiden säde on y ja paksuus dx. Vastaukseksi tulee vakio kertaa ab^2. Symmetriasysistä nähdään että pyörähdyksestä y-akselin ympäri tulee vastaavasti vakio kertaa a^2b. Siitä nähdään että pyörähdys y-akselin ympäri antaa suuremman tilavuuden.
Sain a-kohdasta tilavuudeksi V= 4/3(pii)ab^2
ja b-kohdasta V= 4/3(pii)a^2b.
Mistä voin olettaa, että b-kohdassa tilavuus on suurempi kuin a-kohdassa ? Esim. Jos a ja b ovatkin yhtä suuret.
Olet saanut molemmista kohdista oikean vastauksen.
"Jos a ja b ovatkin yhtä suuret"
Tehtävänannossa sanotaan, että a > b > 0.
V_x = ( 4πab² ) / 3 = b * ( 4πab ) / 3
V_y = ( 4πa²b ) / 3 = a * ( 4πab ) / 3
Tuosta nähdään aika selvästi tilavuuksien suuruusjärjestys.
Aivan. En kiinnittänyt huomiota tuohon, vaan oletin, että molempien tulisi olla nollaa suurempia. Kiitokset selvennyksestä !
Tarvitsetko vielä apua tuohon kakkoseen?
Ihan vaan jos viitsit.
Ympyrälieriön suurin mahdollinen tilavuus saadaan määrittämällä funktion
V(x) = π ( 36x - x² ) / 4, missä 0 ≤ x ≤ 36
suurin arvo.
Vaihtoehtoisesti voidaan käyttää muuttujan y suhteen rakennettua funktiota
V(y) = 4π ( 9y² - y^4 ), missä 0 ≤ y ≤ 3.
Molemmat funktiot on muodostettu ympyrälieriön tilavuuden kaavan
V = π r² h
pohjalta.
Tässä tapauksessa:
r² = x / 4 = y²
h = 36 - x = 36 - 4y²
Palataan sitten funktion V(x) suurimman arvon määrittämiseen.
V´(x) = π ( 36 - 2x ) / 4
V´(x) = 0 x = 18
Kyseessä on maksimikohta, mikä voidaan perustella esimerkiksi kulkukaavion tai toisen derivaatan avulla.
V(18) = π ( 36 * 18 - 18² ) / 4 = 81π
Tämä on ympyrälieriön maksimitilavuus.
Pyörähdysparaboloidin tilavuus:
36
∫ ( π x / 4 ) dx
0
tai vaihtoehtoisesti
3
∫ 8π ( 9y - y³ ) dy
0
Toivottavasti tästä oli apua.