Tällainen tuli ratkottua eilen, ei kyllä ihan nätisti:
Todista kynän ja paperin avulla, että (1 1/16)^(16)
Todista kynän ja paperin avulla, että (1 1/16)^(16)
Helpohko epäyhtälö
todistaja
12181
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 12
Vanhimmat
(1 1/16)^16
= ((((1 2^(-4))^2)^2)^2)^2
= (((1 2*2^(-4) 2^(-8))^2)^2)^2
= (((1 2^(-3) 2^(-8))^2)^2)^2
= (((1 33/256)^2)^2)^2
= (((1 2*33/256 (33)^2/2^16)^2)^2
= (((1 33/128 1089/2^16)^2)^2
< (((1 33/128 1092/2^16)^2)^2
= (((1 33/128 273/2^14)^2)^2
< (((1 33/128 274/2^14)^2)^2
= (((1 33/128 137/2^13)^2)^2
....
Ei taida ihan tuolla tavalla helposti tulla, käytin jo tuossakin laskinta :D
Menee kyllä niin, että korottaa 1 1/16 = 17/16 neljästi neliöönja käyttää
viiden numeron tarkkuutta ja pyöritykset aina alaspäin.
Laskimesta voi olla apua.
Pyöristyksethän pitäisikin tehdä ylöspäin, jotta epäyhtälö tulisi todistetuksi.
Tylsä vääntötehtävä. Otetaan puolittain neljäs juuri ja approksimoidaan riittävän tarkasti lukua (8/3)^(1/4). On mahdollista laskea kynällä ja paperilla, että (1 1/16)^4=83521/65536.
Tässä melko varmaan haetaan jotakin tämmöistä:
http://aijaa.com/Rp6f5L
Joo, en todellakaan laskenut tätä viimeistä versioita kynällä ja paprulla, mutta aikaisempia versioita kyllä ja hankalaa on...mutta mahdollista
Nyt kun laskimella tarkistelee, niin kaksikin termiä olisi riittänyt tuosta ln (8/3) sarjasta ja laskut olisivat helpottuneet hyvin paljon.....
(Olisi pitänyt tehdä niin, että olisikin laskenut termi kerrallaan sitä sarjaa, ja sitten kun sarjan arvo olisi ylittänyt sen 0,97, niin huutanut hep !...)
Paljastettakoon. http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=51&t=584150
Laskimella suoritettavien likiarvolaskujen perusteella tulos näyttää pitävän paikkansa.
Kysymys lieneekin siitä, miten se kohtuullisella työmäärällä käsinkin suoritettavissa olevien tarkkojen laskujen todistetaan.
Seuraavassa osoitetaan, että lasku voidaan suorittaa kymmenjärjestelmän korkeintaan nelinumeroisia lukuja allekkain kertomalla.
Väite on selvästikin yhtäpitävä sen kanssa, että
3*17^16 < 8*16^16 = 2^67
Nyt
17^2 = 289
=> 17^4 = 289^2 = 83521 < 8353*10
=> 17^8 < 8353^2*10^2 = 69772609*10^2 < 6978*10^6
=> 17^16 < 6978^2*10^12 = 48692484*10^12 < 4870*10^16
=> 3*17^16 < 14610*10^16 =1461*10^17
Toisaalta
2^4 = 16
=> 2^8 = 256
=> 2^16 = 256^2 = 65536 > 6553*10
=> 2^32 > 6553^2*10^2 = 42941809*10^2 > 4294*10^6
=> 2^64 > 4294^2*10^12 = 18438436*10^12 > 1843*10^16
=> 2^67 = 8*2^64 > 8*1843*10^16 = 14744*10^16 > 1474*10^17
Siis
3*17^16 < 1461*10^17 < 1474*10^17 < 2^67 = 8*16^16
Näin väite on todistettu.
Ja mitähän järkeä tuossakin on?
Ihan samaan päästään, kun hakataan lukuja laskimeen.
Vaikeahko pitäis varmaan laskin tilata http://eco-toimistotarvikkeet.fi/tuotelistaus/taskulaskimet-poytalaskimet-ja-funktiolaskimet . Oisko joku noista hyvä?
Riippuu varmaan tarpeistasi. Varmasti monella saa tehtyä peruslaskut. Itse en laskinta käytä, kun tietokone hoitaa kaikki ne jotka eivät suju päässä tai paperilla.