Olkoon R rengas, jossa pätee r^2 = r kaikilla r ∈ R.
Miten osoitetaan, että kyseessä on vaihdannainen rengas?
Miten osoitetaan, että kyseessä on vaihdannainen rengas?
Kysymys renkaasta
6+16
4101
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 4
Vanhimmat
Näin: http://math.stackexchange.com/questions/10274/how-to-show-that-every-boolean-ring-is-commutative
Kiitos.
Olkoon a ja b renkaan alkioita
Aluksi (-x)=(-x)^2=x^2=x kaikilla x R:ssä
Nyt
a^2=a ja b^2=b
(a b)^2=a^2 b^2 ab ba=a b ab ba=a b
Siis ab ba=0 eli ab=-ba=ba MOT.
Tässä todistus sille että -a kertaa -b on ab.
Todistuksista puuttuu vasen tai oikea puoli mutta ne menevät vastaavasti.
Osoitetaan ensin että vastaluku on yksikäsitteinen
tod. Olk.
a b=0 ja a c=0
b=0 b=(a c) b=(c a) b=c (a b)=c 0=c
Osoitetaan sitten että -(-a)=a
tod.
-(-a) (-a)=0, a (-a)=0. Siis yks.käs. perusteella -(-a)=a.
Osoitetaan että
(-a)b=-(ab)
tod.
(-a)b ab=(-a a)b=0b=0. ab (-(ab))=0. Siis (-a)b=-(ab)
Osoitetaan että (-a)(-b)=ab
tod.
(-a)(-b)=-(a(-b))=-(-ab)=ab
Nyt tätä tulosta voidaan käyttää.