Toimiiko Bezout'n lause vain algebrallisesti suljetuissa joukoissa? Minulla on ainakin sellainen todistus, jossa niin väitetään.
Jos nyt muodostetaan elliptinen käyrä yli kunnan k, niin k:n han ei tarvitse olla algebrallisesti suljettu. Kuitenkin kirjoissa sanotaan, että Bezout'n lauseen nojalla suora ja elliptinen käyrä leikkaavat tasan kolmessa pisteessä tai tarkemmin sanattuna leikkauspisteiden kertalukujen summa on kolme.
Onko nyt siis niin, että jos elliptinen käyrä muodostetaan sellaisen kunnan yli, joka ei ole algebrallinen, niin suora ja elliptinen käyrä eivät välttämättä leikkaa tasan kolmessa pisteessä vai onko Bezout'n lauseelle olemassa sellainenkin todistus, jossa kunnan algebrallisuutta ei tarvita?
Jos nyt muodostetaan elliptinen käyrä yli kunnan k, niin k:n han ei tarvitse olla algebrallisesti suljettu. Kuitenkin kirjoissa sanotaan, että Bezout'n lauseen nojalla suora ja elliptinen käyrä leikkaavat tasan kolmessa pisteessä tai tarkemmin sanattuna leikkauspisteiden kertalukujen summa on kolme.
Onko nyt siis niin, että jos elliptinen käyrä muodostetaan sellaisen kunnan yli, joka ei ole algebrallinen, niin suora ja elliptinen käyrä eivät välttämättä leikkaa tasan kolmessa pisteessä vai onko Bezout'n lauseelle olemassa sellainenkin todistus, jossa kunnan algebrallisuutta ei tarvita?
Vastaukset 2
Vanhimmat
Viimeksi mietin näitä asioita yli kymmenen vuotta sitten, mutta yritetään ulkomuistista:
Bezout'n lause vaatii, että k on algebrallisesti suljettu (ja lisäksi täytyy tarvittaessa laskea mukaan piste äärettömyydessä). Jos k ei ole algebrallisesti suljettu, niin täytyy jotenkin ottaa huomioon, että leikkauspisteiden koordinaatit eivät välttämättä kuulu itse kuntaan k vaan sen algebralliseen sulkeumaan. (Lisäksi yleensä tarkastellaan käyriä ns. projektiivisessa tasossa).
Tällaisiin kysymyksiin muuten löytyy paremmin vastauksia news-ryhmästä sfnet.tiede.matematiikka
Kiitos tästä tiedosta. Kyllä vastaus vähän selvensi asiaa, pitää itse mietiskellä lisää ja kysellä vaikka tuolla sfnetissä asiaa seuraavaksi, jos siitä vielä kysyttävää tulee... Täytyy tästä alkaa Bezouta todisteleen...