geometriaa: tasot ja putket

putkimaakari

Terve!

Lähdevinkkiä kaivattaisiin, suora apukin on toki tervetullut, kun on asiat päässeet vähän ruostumaan:

Minulla on kaksi tasoa, jotka molemmat määritellään kolmen pisteen avulla x,y,z -avaruudessa. Näiden tasojen leikkaus muodostaa tietenkiin viivan. Miten tasojen pisteistä päädytään leikkausviivan yhtälöön?

Lisäksi kiinnostaisi tietää, kuinka saan määriteltyä putken keskiön, kun sen säde on r ja lisäehtona on että se tangeeraa molempia pintoja?

4

1128

Äänestä

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • Schnauf

      Kahden toisiaan leikkaavan tason leikkaussuoran määrittäminen on melko yksinkertaista puuhaa. (Oma opastukseni on laadittu lukion pitkän matematiikan syventävän kyrssin muistiinpanojen pohjalta. Oletan, että kysyjällä on tarvittavat tiedot vektorilaskennasta. Determinanttien hallitseminen on myös oleellinen helpotus.) Ensin on muodostettava tasojen yhtälöt.

      Tason yhtälö voidaan muodostaa, jos tunnetaan yksi tason piste ja tason suunta., eli jos tunnetaan tason piste P0=(x0,y0,z0) (nollat alaindeksejä) ja tasoa vastaan oleva normaalivektori n=ai bj zk. Pisteiden P0=(x0,y0,z0) kautta kulkeva ja vektoria ai bj zk vastaan kohtisuorassa olevan tason yhtälö on

      a(x-x0) b(y-y0) c(z-z0) = 0

      Käyttökelpoinen muoto on useimmiten ax by cz d, josta ratkaistaan d=-(ax by cz).

      Tason muodostavat ne ja vain ne pisteet P=(x,y,z) , joilla vektori P0P=(x-x0)i (y-y0)j (z-z0)k on kohtisuorassa vektoria n vastaan.

      Määtitetään tason t yhtälö. Oletetaan, että tasosta tunnetaan 3 pistettä, P1, P2 ja P3. Muodostetaan kaksi vektoria siten, että vektori S1=P1P2 ja S2=P1P3. Asian havainnollistamiseksi voidaan ottaa käyttöön mielivaltaiset kolmiulotteisen avaruuden pisteet (1,2,0), (-1,3,-2) ja (2,1,3). Tällöin S1= -2i j-2k ja S2=i-j 3k.

      Näin saaduista vektoreista S1 ja S2 voidaan nyt määrittää tasoa vastaan oleva normaalivektori n=ai bj zk. vektori n saadaan vektorien S1 ja S2 ristitulosta (Kahden vektorin ristitulon tuloksena on aina vektori, joka on kohtisuorassa kumpaakin lakuperäistä vektoria vastaan. Koska S1 ja S2 olivat tason t suuntaisia vektoreita, on ristitulo S1 X S2 tason normaalivektori n.)

      ristitulon S1 X S2 tuloksena on determinantti

      i j k
      -2 1 -2
      1 -1 3

      , jonka ratkaisuna on vektori (1*3-(-1*(-2))i - (-2*3-1*(-2))j (-2*(-1)-1*1) = i 4j k

      Tämä on tason normaalivektori n. Merkitään n= S1 X S2 n=i 4j k ai bj ck = i 4j k. Tasta saadaan a=1, b=4 ja c=1

      Tason yhtälö on siis x 4y z d=0. Tiedetään, että piste P1=(1,2,0) on tasossa. Sijoitetaan pisteen P1 arvot muuttujien x, y ja z paikalle, josta saadaan d=-1-4*2=-9

      Tason yhtälö on siis x 4y z=9

      Johdin tason yhtälön esimerkkejä käyttäen, mikä havainnollistaa esitystä huomattavasti ja myös lyhentää sitä.

      Siirrytään tasojen leikkauspisteisiin. Muodostetaan tasojen yhtälöistä yhtälöpari, ja ratkaistaan kaksi muuttujista kolmannen avulla. Otetaan esimerkiksi kaksi tason yhtälöä x y z-1=0 ja x-y-z 3=0.

      Muodostetaan yhtälöpari ja lasketaan yhtälöt yhteen niin, että kaksi muuttujista (x ja y) saadaan ilmaistua kolmannan (z) avulla. Laskemalla tasojen yhtälöt yhteen, saadaan yhtälöpari x y z-1 ja x=-1, josta saadaan -1 y z-1=0 ja x=-1, josta saadaan yhtälöpari y=2-z ja
      x=-1. Merkitään z=t, josta saadaan leikkaussuoran parametrimuotoinen yhtälö. Saadaan yhtälöryhmä, jonka muodostavat yhtälöt x=-1, y=2-t ja z=t (t kuuluu reaalilukujen joukkoon).

      Suoran parametrimuotoinen yhtälö on avaruudessa luultavasti käyttökelpoisin, mutta suora voidaan saattaa muunkinlaiseen muotoon. Esimerkin tapauksessa havaitaan, että leikkaussuora on pisteen (-1,2,0) kautta kulkeva vektorin -j k suuntainen suora.

      Olen iloinen, jos esimerkeistäni oli jotakin hyötyä. Joitakin näppäilyvirheitä saattaa tosin löytyä.

      Schnauf

      • putkimaakari

        Kyllä, tuossa oli perusteet, joita kaipasinkin. Vektoreiden avullahan ne ratkeavat ja ristitulolla normaalivektori .. muistisolut heräävät horroksestaan ja pölyn keskeltä..

        Google kertoi samaa, mm. http://www.ping.be/~ping1339/rmk.htm#Equation-of-a-plane

        Entäpä tuo vaikeampi (tai ainakin mutkikkaampi) b-osa: sattuisiko käsillä olemaan linkkiä moiseen esimerkkitehtävään webissä, jossa kahden toisensa leikkaavan tason pinnoille määritellään leikkaussuoran suuntainen sylinteri tangeeraaman molempia pintoja? Ketään ei kehdanne pyytää kirjoittamaan sellaista litaniaa tänne, mutta valmis esimerkki olisi makupala.

        Äkkiä ajatellen: tasot A ja B tunnetaan => niiden välinen kulma tunnetaan ja nyt saatiin tuo leikkaussuorakin selville:

        origo sijoitetaan leikkaussuoralla sijaitsevalle tasolle (leikkaussuora on tämän tason normaali),
        jolloin tasot A ja B "näkyvät" silhuetteina,
        muodostaen kulman alpha=a.

        Piirretään kulmalle a puolittaja, jonka pituus on n. Saatiin vektori, joka osoittaa lieriön keskiöön. Nyt vielä vektorin päästä tasoja edustaviin suoriin tulee r-pituiset normaalit, jolloin pituus n on yksikäsitteisesti määritelty => lieriön keskipiste on vektorin n osoittamassa paikassa?


      • Schnauf
        putkimaakari kirjoitti:

        Kyllä, tuossa oli perusteet, joita kaipasinkin. Vektoreiden avullahan ne ratkeavat ja ristitulolla normaalivektori .. muistisolut heräävät horroksestaan ja pölyn keskeltä..

        Google kertoi samaa, mm. http://www.ping.be/~ping1339/rmk.htm#Equation-of-a-plane

        Entäpä tuo vaikeampi (tai ainakin mutkikkaampi) b-osa: sattuisiko käsillä olemaan linkkiä moiseen esimerkkitehtävään webissä, jossa kahden toisensa leikkaavan tason pinnoille määritellään leikkaussuoran suuntainen sylinteri tangeeraaman molempia pintoja? Ketään ei kehdanne pyytää kirjoittamaan sellaista litaniaa tänne, mutta valmis esimerkki olisi makupala.

        Äkkiä ajatellen: tasot A ja B tunnetaan => niiden välinen kulma tunnetaan ja nyt saatiin tuo leikkaussuorakin selville:

        origo sijoitetaan leikkaussuoralla sijaitsevalle tasolle (leikkaussuora on tämän tason normaali),
        jolloin tasot A ja B "näkyvät" silhuetteina,
        muodostaen kulman alpha=a.

        Piirretään kulmalle a puolittaja, jonka pituus on n. Saatiin vektori, joka osoittaa lieriön keskiöön. Nyt vielä vektorin päästä tasoja edustaviin suoriin tulee r-pituiset normaalit, jolloin pituus n on yksikäsitteisesti määritelty => lieriön keskipiste on vektorin n osoittamassa paikassa?

        Siis eikös homma olisi tehtävissä yksinkertaisimmin näin:

        Muodostetaan 3 uutta tasoa siten, että T1 on aiempien tasojen leikkaussuoraa vastaan kohtisuorassa oleva taso ja tasot T2 sekä T3 aiempia tasoja vastaan kohtisuorassa olevat tasot. Tasojen T1, T2 ja T3 täytyy leikata toisensa pisteessä joka kulkee pitkin suoraa, joka kulkee putken keskipisteessä. Tämä suora (,jolla tasojen T1, T2 ja T3 leikkauspiste sijaitsee) on alkuperäisten kahden tason leikkaussuoran suuntavektorin suuntainen.

        Tästä saadaan uuden suoran parametrimuotoinen yhtälö. Tämä uusi suora on sellainen, jonka jokainen piste on putken keskipisteessä. Olisi järkevää määritellä putken "keskipistessuora" tällä tavoin, sillä tasot ja putki kuitenkin jatkuvat periaatteessa äärettömiin.

        Taso T1 voidaan helposti muodostaa, kun muodostetaan sellainen vektori, joka on kohtisuorassa alkuperäisten tasojen A1 ja A2 leikkaussuoran suuntavektoria vastaan. Tämän jälkeen voidaan valita mikä tahansa suoran piste, ja muodostaa ko. taso. Samoin voidaan muodostaa tasojen T2 ja T3 yhtälöt.

        Muodostetaan kolmen tyhtälön yhtälöryhmä, jonka ainoana ratkaisuna on keskipistessuoran jokin piste. Nyt voidaan itse keskipistessuorakin määrittää.

        Tämä näin äärimmäisen nopeasti mietittynä. En ole osoittanut kyseisen teorian paikkansapitävyyttä. Uskoisin sen kuitenkin pitävän kutinsa.


      • Schnauf
        Schnauf kirjoitti:

        Siis eikös homma olisi tehtävissä yksinkertaisimmin näin:

        Muodostetaan 3 uutta tasoa siten, että T1 on aiempien tasojen leikkaussuoraa vastaan kohtisuorassa oleva taso ja tasot T2 sekä T3 aiempia tasoja vastaan kohtisuorassa olevat tasot. Tasojen T1, T2 ja T3 täytyy leikata toisensa pisteessä joka kulkee pitkin suoraa, joka kulkee putken keskipisteessä. Tämä suora (,jolla tasojen T1, T2 ja T3 leikkauspiste sijaitsee) on alkuperäisten kahden tason leikkaussuoran suuntavektorin suuntainen.

        Tästä saadaan uuden suoran parametrimuotoinen yhtälö. Tämä uusi suora on sellainen, jonka jokainen piste on putken keskipisteessä. Olisi järkevää määritellä putken "keskipistessuora" tällä tavoin, sillä tasot ja putki kuitenkin jatkuvat periaatteessa äärettömiin.

        Taso T1 voidaan helposti muodostaa, kun muodostetaan sellainen vektori, joka on kohtisuorassa alkuperäisten tasojen A1 ja A2 leikkaussuoran suuntavektoria vastaan. Tämän jälkeen voidaan valita mikä tahansa suoran piste, ja muodostaa ko. taso. Samoin voidaan muodostaa tasojen T2 ja T3 yhtälöt.

        Muodostetaan kolmen tyhtälön yhtälöryhmä, jonka ainoana ratkaisuna on keskipistessuoran jokin piste. Nyt voidaan itse keskipistessuorakin määrittää.

        Tämä näin äärimmäisen nopeasti mietittynä. En ole osoittanut kyseisen teorian paikkansapitävyyttä. Uskoisin sen kuitenkin pitävän kutinsa.

        Niin sellainen tarkennus tuohon edelliseen vielä, että kun muodostetaan tasojen T2 ja T3 yhtälöjä on tietenkin valittava pisteeksi P jokin piste siltä suoralta joka muodostuu putken sivutessa alkuperäistä tasoa.

        Tämähän oli tietysti tarkoituksena koko ajan, mutta kun kirjoittaa nopeammin kun ajattelee, niin tällaisia esitysvirheitä pääsee tapahtumaan. Alkuperäisessä tekstissähän luki "samoin voidaan muodostaa...", mikä antaa sen käsityksen, että muodostettaessa tasoja T2 ja T3 voidaan valita alkuperäiseltä tasolta mikä tahansa piste.

        Samalla huomataan, että T1 käy tarpeettomaksi, koska tasojen T2 ja T3 leikkaussuora on jo itsessään ko. "keskipistessuora"


    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Luetuimmat keskustelut

    1. Putin hoiti Suomen natoon ja myös Ruotsin

      Iso kiitos Vladimir Putinille. Hänen ansiosta pääsemme nyt Natoon. Putin halusi Naton lähelle ja nyt sai. Voimme tästä kiittää vain Putinia.
      Maailman menoa
      646
      7936
    2. Niinistö teki hetkessä Suomesta Venäjän ydinaseiden maalitaulun

      Kaiken lisäksi mies vielä lällätteli Putinille eilisessä tiedotustilaisuudessa ja käski katsomaan itseään peiliin. Kyllä vähän asiallisempaa käytöstä
      Maailman menoa
      466
      2220
    3. Voi Stefu ja sun kiivas luonteesi

      Sielä lentelee ullakkohuoneiston ikkunasta daamin vaatteet ja matkalaukut pitkin pihaa. Toisaalta,en ihmettele yhtään että tämä suhde päättyi näin,kyl
      Kotimaiset julkkisjuorut
      229
      2124
    4. Poliisi otti Stefun kiinni!

      Seiska tietää kertoa.
      Kotimaiset julkkisjuorut
      144
      1696
    5. Veikkaus: Miten The Rasmus pärjää Euroviisuissa?

      Euroviisuhuuma on ylimmillään, kun Suomi ja The Rasmus taistelee biisillään Jezebel. Bändi on tikissä, kunhan Lauri Ylösen ääni kantaa. Mitä veikka
      Viihde ja kulttuuri
      51
      1229
    6. Ohhoh! Martina Aitolehti ja seurapiirihurmuri-Jesper ekassa yhteiskuvassa - Sutinaa Mallorcalla!

      Martina Aitolehti ja seurapiirijulkkis-Jesper nauttivat toisistaan varsin vauhdikkaissa merkeissä Mallorcalla. Aitolehti ei ole esitellyt rakastaan vi
      Kotimaiset julkkisjuorut
      25
      1218
    7. Stefanilta tuli taas karu totuus Sofiasta

      Marokkolainen h*o*ra! Voi tsiisus kun mulla on hauskaa! Lumput lentää ikkunasta kun Stefu raivoaa h*uralleen🤣🤣🤣 Nyt ne popparit tulille, tästä tule
      Kotimaiset julkkisjuorut
      99
      1103
    8. Ootko onnellinen kun ei tarvitse

      nähdä tätä tyhmää naamaa enää koskaan? Multa se särkee sydämen, mutta minkäs teen. Vaikka olisi kuinka sinnikäs eikä hellittäisi, se ei aina auta.
      Ikävä
      65
      834
    9. Steppuli veressä

      Seiskan lööpissä Steppulilla naama ja nyrkit veressä. Ei tainnut ihan kamojen pihalle paiskominen riittää. Onkohan pistänyt kämpän tuusannuuskaks.
      Kotimaiset julkkisjuorut
      55
      751
    10. Oletko nähnyt eroottiset kohuleffat? Fifty Shades Of Grey -trilogia tv:stä

      Fifty Shades -trilogia starttaa, kun nuori opiskelijanainen Anastasia tapaa rikkaan liikemiehen. Seksisuhdehan siitä starttaa, höystettynä sadistisill
      Suhteet
      7
      727
    Aihe