Terve!
Lähdevinkkiä kaivattaisiin, suora apukin on toki tervetullut, kun on asiat päässeet vähän ruostumaan:
Minulla on kaksi tasoa, jotka molemmat määritellään kolmen pisteen avulla x,y,z -avaruudessa. Näiden tasojen leikkaus muodostaa tietenkiin viivan. Miten tasojen pisteistä päädytään leikkausviivan yhtälöön?
Lisäksi kiinnostaisi tietää, kuinka saan määriteltyä putken keskiön, kun sen säde on r ja lisäehtona on että se tangeeraa molempia pintoja?
geometriaa: tasot ja putket
putkimaakari
4
1715
Vastaukset
- Schnauf
Kahden toisiaan leikkaavan tason leikkaussuoran määrittäminen on melko yksinkertaista puuhaa. (Oma opastukseni on laadittu lukion pitkän matematiikan syventävän kyrssin muistiinpanojen pohjalta. Oletan, että kysyjällä on tarvittavat tiedot vektorilaskennasta. Determinanttien hallitseminen on myös oleellinen helpotus.) Ensin on muodostettava tasojen yhtälöt.
Tason yhtälö voidaan muodostaa, jos tunnetaan yksi tason piste ja tason suunta., eli jos tunnetaan tason piste P0=(x0,y0,z0) (nollat alaindeksejä) ja tasoa vastaan oleva normaalivektori n=ai bj zk. Pisteiden P0=(x0,y0,z0) kautta kulkeva ja vektoria ai bj zk vastaan kohtisuorassa olevan tason yhtälö on
a(x-x0) b(y-y0) c(z-z0) = 0
Käyttökelpoinen muoto on useimmiten ax by cz d, josta ratkaistaan d=-(ax by cz).
Tason muodostavat ne ja vain ne pisteet P=(x,y,z) , joilla vektori P0P=(x-x0)i (y-y0)j (z-z0)k on kohtisuorassa vektoria n vastaan.
Määtitetään tason t yhtälö. Oletetaan, että tasosta tunnetaan 3 pistettä, P1, P2 ja P3. Muodostetaan kaksi vektoria siten, että vektori S1=P1P2 ja S2=P1P3. Asian havainnollistamiseksi voidaan ottaa käyttöön mielivaltaiset kolmiulotteisen avaruuden pisteet (1,2,0), (-1,3,-2) ja (2,1,3). Tällöin S1= -2i j-2k ja S2=i-j 3k.
Näin saaduista vektoreista S1 ja S2 voidaan nyt määrittää tasoa vastaan oleva normaalivektori n=ai bj zk. vektori n saadaan vektorien S1 ja S2 ristitulosta (Kahden vektorin ristitulon tuloksena on aina vektori, joka on kohtisuorassa kumpaakin lakuperäistä vektoria vastaan. Koska S1 ja S2 olivat tason t suuntaisia vektoreita, on ristitulo S1 X S2 tason normaalivektori n.)
ristitulon S1 X S2 tuloksena on determinantti
i j k
-2 1 -2
1 -1 3
, jonka ratkaisuna on vektori (1*3-(-1*(-2))i - (-2*3-1*(-2))j (-2*(-1)-1*1) = i 4j k
Tämä on tason normaalivektori n. Merkitään n= S1 X S2 n=i 4j k ai bj ck = i 4j k. Tasta saadaan a=1, b=4 ja c=1
Tason yhtälö on siis x 4y z d=0. Tiedetään, että piste P1=(1,2,0) on tasossa. Sijoitetaan pisteen P1 arvot muuttujien x, y ja z paikalle, josta saadaan d=-1-4*2=-9
Tason yhtälö on siis x 4y z=9
Johdin tason yhtälön esimerkkejä käyttäen, mikä havainnollistaa esitystä huomattavasti ja myös lyhentää sitä.
Siirrytään tasojen leikkauspisteisiin. Muodostetaan tasojen yhtälöistä yhtälöpari, ja ratkaistaan kaksi muuttujista kolmannen avulla. Otetaan esimerkiksi kaksi tason yhtälöä x y z-1=0 ja x-y-z 3=0.
Muodostetaan yhtälöpari ja lasketaan yhtälöt yhteen niin, että kaksi muuttujista (x ja y) saadaan ilmaistua kolmannan (z) avulla. Laskemalla tasojen yhtälöt yhteen, saadaan yhtälöpari x y z-1 ja x=-1, josta saadaan -1 y z-1=0 ja x=-1, josta saadaan yhtälöpari y=2-z ja
x=-1. Merkitään z=t, josta saadaan leikkaussuoran parametrimuotoinen yhtälö. Saadaan yhtälöryhmä, jonka muodostavat yhtälöt x=-1, y=2-t ja z=t (t kuuluu reaalilukujen joukkoon).
Suoran parametrimuotoinen yhtälö on avaruudessa luultavasti käyttökelpoisin, mutta suora voidaan saattaa muunkinlaiseen muotoon. Esimerkin tapauksessa havaitaan, että leikkaussuora on pisteen (-1,2,0) kautta kulkeva vektorin -j k suuntainen suora.
Olen iloinen, jos esimerkeistäni oli jotakin hyötyä. Joitakin näppäilyvirheitä saattaa tosin löytyä.
Schnauf- putkimaakari
Kyllä, tuossa oli perusteet, joita kaipasinkin. Vektoreiden avullahan ne ratkeavat ja ristitulolla normaalivektori .. muistisolut heräävät horroksestaan ja pölyn keskeltä..
Google kertoi samaa, mm. http://www.ping.be/~ping1339/rmk.htm#Equation-of-a-plane
Entäpä tuo vaikeampi (tai ainakin mutkikkaampi) b-osa: sattuisiko käsillä olemaan linkkiä moiseen esimerkkitehtävään webissä, jossa kahden toisensa leikkaavan tason pinnoille määritellään leikkaussuoran suuntainen sylinteri tangeeraaman molempia pintoja? Ketään ei kehdanne pyytää kirjoittamaan sellaista litaniaa tänne, mutta valmis esimerkki olisi makupala.
Äkkiä ajatellen: tasot A ja B tunnetaan => niiden välinen kulma tunnetaan ja nyt saatiin tuo leikkaussuorakin selville:
origo sijoitetaan leikkaussuoralla sijaitsevalle tasolle (leikkaussuora on tämän tason normaali),
jolloin tasot A ja B "näkyvät" silhuetteina,
muodostaen kulman alpha=a.
Piirretään kulmalle a puolittaja, jonka pituus on n. Saatiin vektori, joka osoittaa lieriön keskiöön. Nyt vielä vektorin päästä tasoja edustaviin suoriin tulee r-pituiset normaalit, jolloin pituus n on yksikäsitteisesti määritelty => lieriön keskipiste on vektorin n osoittamassa paikassa? - Schnauf
putkimaakari kirjoitti:
Kyllä, tuossa oli perusteet, joita kaipasinkin. Vektoreiden avullahan ne ratkeavat ja ristitulolla normaalivektori .. muistisolut heräävät horroksestaan ja pölyn keskeltä..
Google kertoi samaa, mm. http://www.ping.be/~ping1339/rmk.htm#Equation-of-a-plane
Entäpä tuo vaikeampi (tai ainakin mutkikkaampi) b-osa: sattuisiko käsillä olemaan linkkiä moiseen esimerkkitehtävään webissä, jossa kahden toisensa leikkaavan tason pinnoille määritellään leikkaussuoran suuntainen sylinteri tangeeraaman molempia pintoja? Ketään ei kehdanne pyytää kirjoittamaan sellaista litaniaa tänne, mutta valmis esimerkki olisi makupala.
Äkkiä ajatellen: tasot A ja B tunnetaan => niiden välinen kulma tunnetaan ja nyt saatiin tuo leikkaussuorakin selville:
origo sijoitetaan leikkaussuoralla sijaitsevalle tasolle (leikkaussuora on tämän tason normaali),
jolloin tasot A ja B "näkyvät" silhuetteina,
muodostaen kulman alpha=a.
Piirretään kulmalle a puolittaja, jonka pituus on n. Saatiin vektori, joka osoittaa lieriön keskiöön. Nyt vielä vektorin päästä tasoja edustaviin suoriin tulee r-pituiset normaalit, jolloin pituus n on yksikäsitteisesti määritelty => lieriön keskipiste on vektorin n osoittamassa paikassa?Siis eikös homma olisi tehtävissä yksinkertaisimmin näin:
Muodostetaan 3 uutta tasoa siten, että T1 on aiempien tasojen leikkaussuoraa vastaan kohtisuorassa oleva taso ja tasot T2 sekä T3 aiempia tasoja vastaan kohtisuorassa olevat tasot. Tasojen T1, T2 ja T3 täytyy leikata toisensa pisteessä joka kulkee pitkin suoraa, joka kulkee putken keskipisteessä. Tämä suora (,jolla tasojen T1, T2 ja T3 leikkauspiste sijaitsee) on alkuperäisten kahden tason leikkaussuoran suuntavektorin suuntainen.
Tästä saadaan uuden suoran parametrimuotoinen yhtälö. Tämä uusi suora on sellainen, jonka jokainen piste on putken keskipisteessä. Olisi järkevää määritellä putken "keskipistessuora" tällä tavoin, sillä tasot ja putki kuitenkin jatkuvat periaatteessa äärettömiin.
Taso T1 voidaan helposti muodostaa, kun muodostetaan sellainen vektori, joka on kohtisuorassa alkuperäisten tasojen A1 ja A2 leikkaussuoran suuntavektoria vastaan. Tämän jälkeen voidaan valita mikä tahansa suoran piste, ja muodostaa ko. taso. Samoin voidaan muodostaa tasojen T2 ja T3 yhtälöt.
Muodostetaan kolmen tyhtälön yhtälöryhmä, jonka ainoana ratkaisuna on keskipistessuoran jokin piste. Nyt voidaan itse keskipistessuorakin määrittää.
Tämä näin äärimmäisen nopeasti mietittynä. En ole osoittanut kyseisen teorian paikkansapitävyyttä. Uskoisin sen kuitenkin pitävän kutinsa. - Schnauf
Schnauf kirjoitti:
Siis eikös homma olisi tehtävissä yksinkertaisimmin näin:
Muodostetaan 3 uutta tasoa siten, että T1 on aiempien tasojen leikkaussuoraa vastaan kohtisuorassa oleva taso ja tasot T2 sekä T3 aiempia tasoja vastaan kohtisuorassa olevat tasot. Tasojen T1, T2 ja T3 täytyy leikata toisensa pisteessä joka kulkee pitkin suoraa, joka kulkee putken keskipisteessä. Tämä suora (,jolla tasojen T1, T2 ja T3 leikkauspiste sijaitsee) on alkuperäisten kahden tason leikkaussuoran suuntavektorin suuntainen.
Tästä saadaan uuden suoran parametrimuotoinen yhtälö. Tämä uusi suora on sellainen, jonka jokainen piste on putken keskipisteessä. Olisi järkevää määritellä putken "keskipistessuora" tällä tavoin, sillä tasot ja putki kuitenkin jatkuvat periaatteessa äärettömiin.
Taso T1 voidaan helposti muodostaa, kun muodostetaan sellainen vektori, joka on kohtisuorassa alkuperäisten tasojen A1 ja A2 leikkaussuoran suuntavektoria vastaan. Tämän jälkeen voidaan valita mikä tahansa suoran piste, ja muodostaa ko. taso. Samoin voidaan muodostaa tasojen T2 ja T3 yhtälöt.
Muodostetaan kolmen tyhtälön yhtälöryhmä, jonka ainoana ratkaisuna on keskipistessuoran jokin piste. Nyt voidaan itse keskipistessuorakin määrittää.
Tämä näin äärimmäisen nopeasti mietittynä. En ole osoittanut kyseisen teorian paikkansapitävyyttä. Uskoisin sen kuitenkin pitävän kutinsa.Niin sellainen tarkennus tuohon edelliseen vielä, että kun muodostetaan tasojen T2 ja T3 yhtälöjä on tietenkin valittava pisteeksi P jokin piste siltä suoralta joka muodostuu putken sivutessa alkuperäistä tasoa.
Tämähän oli tietysti tarkoituksena koko ajan, mutta kun kirjoittaa nopeammin kun ajattelee, niin tällaisia esitysvirheitä pääsee tapahtumaan. Alkuperäisessä tekstissähän luki "samoin voidaan muodostaa...", mikä antaa sen käsityksen, että muodostettaessa tasoja T2 ja T3 voidaan valita alkuperäiseltä tasolta mikä tahansa piste.
Samalla huomataan, että T1 käy tarpeettomaksi, koska tasojen T2 ja T3 leikkaussuora on jo itsessään ko. "keskipistessuora"
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Epäily: Räppäri yritti tappaa vauvansa.
https://www.mtvuutiset.fi/artikkeli/epaily-mies-yritti-tappaa-vauvansa/9300728 Tämä on erittäin järkyttävä teko täysin p646225Räppäri kuoli vankilassa
Ei kuulemma ole tapahtunut rikosta. Sama vahinkohan kävi Epsteinille. https://www.hs.fi/suomi/art-2000011840869.html "813896Välillä kyllä tuntuu, että jaat vihjeitä
Mutta miten niistä voi olla ollenkaan varma? Ja minä saan niistä kimmokkeen luulemaan yhtä sun toista. Eli mitä ajatella242851- 232400
No kyllä te luuserit voitte tehdä mitä vaan keskenänne, sitä en ymmärrä miksi pelaat,nainen
Pisteesi silmissäni, edes ystävätasolla tippui jo tuhannella, kun sain selville pelailusi, olet toisen kanssa, vaikka ol452282Onko Sanna menossa Ukrainaan viettämään vuosipäivää?
Kun on bongattu Varsovan lentokentältä?1621863Kulukusuunnat
Eikö kuhmolaiset iha oikiasti tiiä kumpi o vasen ja kumpi oikia? Tuolla ku liikennemerkissä näkyy nuolet ylös ja alas, v61709Muusikko yritti tappaa kaksiviikkoisen vauvan
Karu epäily: Muusikko, 32, yritti tappaa kaksiviikkoisen vauvan Oulussa. IS:n selvityksen perusteella miestä ei ole syy851332- 341291
81-vuotias Frederik avoimena - Ei omasta mielestä kelpaa tästä syystä realityihin: "Veemäinen..."
Junttidiscon kuninkaana tunnettu Frederik, 81, on esiintymislavoilla suvereeni tekijä. Mies on viihdyttänyt ympäri Suome201266